Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos a série e precisamos verificar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas, especialmente sobre convergência absoluta e condicional.
Passo 2
Vamos começar verificando a convergência absoluta. Isso significa que analisamos a série sem considerar os sinais alternados, ou seja, .
Passo 3
Observamos que cresce muito rapidamente conforme aumenta. Para investigar isso, podemos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar o comportamento de séries com termos que envolvem fatoriais e potências.
Passo 4
Aplicando o Teste da Razão:
Como , pelo Teste da Razão, a série diverge.
Passo 5
Como a série dos valores absolutos diverge, ela não é absolutamente convergente. Agora, vamos verificar se ela é condicionalmente convergente.
Passo 6
Para a série ser condicionalmente convergente, ela deve convergir quando considerada com os sinais alternados, mesmo que a série dos valores absolutos diverge. Vamos verificar usando o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos forem decrescentes e tenderem a zero, a série alternada converge.
Passo 7
No entanto, observamos que não tende a zero; na verdade, tende ao infinito conforme aumenta. Portanto, o teste falha e a série não converge condicionalmente.