Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(i) sumn=1^infty(-1)^n-1 n^nn!

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos a série e precisamos verificar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas, especialmente sobre convergência absoluta e condicional.

Passo 2

Vamos começar verificando a convergência absoluta. Isso significa que analisamos a série sem considerar os sinais alternados, ou seja, .

Passo 3

Observamos que cresce muito rapidamente conforme aumenta. Para investigar isso, podemos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar o comportamento de séries com termos que envolvem fatoriais e potências.

Passo 4

Aplicando o Teste da Razão:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty (n+1)^n+1(n+1)! cdot n!n^n = limn to infty (1 + 1n)^n cdot n+1n = e cdot 1 = e
Como , pelo Teste da Razão, a série diverge.

Passo 5

Como a série dos valores absolutos diverge, ela não é absolutamente convergente. Agora, vamos verificar se ela é condicionalmente convergente.

Passo 6

Para a série ser condicionalmente convergente, ela deve convergir quando considerada com os sinais alternados, mesmo que a série dos valores absolutos diverge. Vamos verificar usando o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos forem decrescentes e tenderem a zero, a série alternada converge.

Passo 7

No entanto, observamos que não tende a zero; na verdade, tende ao infinito conforme aumenta. Portanto, o teste falha e a série não converge condicionalmente.

Resposta

A série é divergente.

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Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
© sumn=1^infty(-1)^n-1 n^2n!
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(f) sumn=1^infty n e^-n^2
Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(l) sumn=1^infty(-1)^n-1 n^4e^n
Classifique as séries numéricas abaixo como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando sua resposta.
(b) sumn=1^infty n cos (n pi)n^2+n+1