Determine o raio e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo.
(q) sumn=0^infty n(x-1)^2 nn^3+3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos o raio e o intervalo de convergência da série de potências dada por:
sumn=0^infty n(x-1)^2nn^3 + 3
Essa questão envolve o estudo de séries de potências, que são somas infinitas em que cada termo é uma potência de , onde é o centro da série. Para resolver, vamos precisar usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar o raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão para séries de potências. Esse teste diz que, para a série 1R = limn to infty | an+1an | , o raio de convergência sumn=0^infty n(x-1)^2nn^3 + 3 é dado por:
No nosso caso, a série é:
Vamos identificar e a potência é .

Passo 3

Aplicando o Teste da Razão, temos:
Simplificando os termos:
limn to infty | an+1an cdot (x-1)^2(n+1)(x-1)^2n | = limn to infty | (n+1)(n+1)^3 + 3 cdot n^3 + 3n cdot (x-1)^2 |
Para = limn to infty | (n+1)(n^3 + 3)n((n+1)^3 + 3) cdot (x-1)^2 | grande, os termos de maior grau são dominantes, então:
approx limn to infty | (n)(n^3)n(n^3) cdot (x-1)^2 | = |(x-1)^2|

Passo 4

Para que a série convirja, precisamos que esse limite seja menor que 1:
|(x-1)^2| < 1
Resolvendo a desigualdade:
(x - 1)^2 < 1 implies -1 < x - 1 < 1 implies 0 < x < 2
Portanto, o intervalo de convergência está entre 0 e 2. O raio de convergência R = 2 - 02 = 1 é a metade do comprimento do intervalo, ou seja:

Resposta

O raio de convergência da série é e o intervalo de convergência é .

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A partir da soma da série geométrica sumn=1^infty x^n, para |x|<1, encontre as somas das séries abaixo.
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