Classifique as séries numéricas abaixo como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando sua resposta.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para classificar a série infinita como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de séries numéricas e testes de convergência, como o Teste da Razão e o Teste da Raiz.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que vamos considerar a série dos valores absolutos dos termos, ou seja:
Passo 3
Agora, para testar a convergência dessa série sem o sinal alternante, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste ajuda a determinar o comportamento de séries com termos que envolvem potências e fatorial.
Calculamos o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Onde an+1an = 2^3(n+1)+4 - (n+1)e^n+1 (n+1)^3(n+1) times e^n n^3n2^3n+4 - n .
Vamos simplificar a expressão:
Simplificando os termos de potência:
= 2^3n+7 - (n+1)2^3n+4 - n times e^ne^n+1 times n^3n(n+1)^3n+3
Para grandes valores de approx 2^3n+72^3n+4 times 1e times n^3n(n+1)^3n+3 , = 2^3 times 1e times ( nn+1 )^3n times 1(n+1)^3 domina L = 8 times 1e times e^-3 times 1n^3 = 8e^4 n^3 e domina , então podemos aproximar:
Simplificando as potências de 2:
Sabemos que tende a quando vai para o infinito, então:
À medida que cresce, tende a 0.
Passo 4
Como o limite é menor que 1, pelo Teste da Razão, a série dos valores absolutos converge. Portanto, a série original é absolutamente convergente.