Classifique as séries numéricas abaixo como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando sua resposta.
(a) sumn=1^infty(-1)^n-1 (2^3 n+4-n)e^n n^3 n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para classificar a série infinita como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de séries numéricas e testes de convergência, como o Teste da Razão e o Teste da Raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que vamos considerar a série dos valores absolutos dos termos, ou seja:
sumn=1^infty | (-1)^n-1 2^3n+4 - ne^n n^3n | = sumn=1^infty 2^3n+4 - ne^n n^3n

Passo 3

Agora, para testar a convergência dessa série sem o sinal alternante, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste ajuda a determinar o comportamento de séries com termos que envolvem potências e fatorial.
Calculamos o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Onde an+1an = 2^3(n+1)+4 - (n+1)e^n+1 (n+1)^3(n+1) times e^n n^3n2^3n+4 - n .
Vamos simplificar a expressão:
Simplificando os termos de potência:
= 2^3n+7 - (n+1)2^3n+4 - n times e^ne^n+1 times n^3n(n+1)^3n+3
Para grandes valores de approx 2^3n+72^3n+4 times 1e times n^3n(n+1)^3n+3 , = 2^3 times 1e times ( nn+1 )^3n times 1(n+1)^3 domina L = 8 times 1e times e^-3 times 1n^3 = 8e^4 n^3 e domina , então podemos aproximar:
Simplificando as potências de 2:
Sabemos que tende a quando vai para o infinito, então:
À medida que cresce, tende a 0.

Passo 4

Como o limite é menor que 1, pelo Teste da Razão, a série dos valores absolutos converge. Portanto, a série original é absolutamente convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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ll senh x=e^x-e^-x2 & seno hiperbólico de x cosh x=e^x+e^-x2 & cosseno hiperbólico de x óó
Com base nelas, calcule:
© cosh (ln x) e senh(ln x)
Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(e) sumn=1^infty(-1)^n-1 n!2^n+1
Classifique as séries numéricas abaixo como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando sua resposta.
(g) sumn=1^infty n sin (n pi)+nn^2+5
(b) ln(e^2) + e^(-ln(e))