Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(e) sumn=1^infty(-1)^n-1 n!2^n+1

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma série infinita: . O objetivo é descobrir se essa série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou se diverge. Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos de séries infinitas, como convergência absoluta, convergência condicional e teste da série alternada. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa convergência absoluta. Uma série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos também converge. Isso é importante porque, se uma série é absolutamente convergente, ela certamente converge.

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa série. Primeiro, pegamos o valor absoluto dos termos:
sumn=1^infty | (-1)^n-1 n!2^n+1 | = sumn=1^infty n!2^n+1
Agora, precisamos verificar se essa nova série converge.

Passo 4

Observemos que (fatorial de n) cresce muito mais rápido que conforme n aumenta. Para ter uma ideia, comparar com mostra que o numerador cresce exponencialmente, enquanto o denominador também cresce exponencialmente, mas muito mais devagar.

Passo 5

Para confirmar isso, podemos usar o Teste da Série Divergente, que diz que se o limite de limn to infty n!2^n+1 não for zero, a série diverge. Vamos calcular:
Sabemos que cresce mais rápido que , então esse limite é infinito.

Passo 6

Como o limite dos termos não é zero (na verdade, é infinito), pelo Teste da Série Divergente, a série diverge. Isso quer dizer que a série original não é absolutamente convergente.

Passo 7

Agora, vamos verificar se a série é condicionalmente convergente. Para isso, usamos o Teste da Série Alternada, que requer que:
  1. Os termos sejam decrescentes.
  2. O limite de seja zero.

Passo 8

Já vimos que , que não é zero. Além disso, os termos não são decrescentes, pois aumenta sempre que n aumenta. Portanto, o Teste da Série Alternada também não é satisfeito.

Resposta

A série é divergente.

Exercícios relacionados

Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(a) sumn=1^infty(-1)^n-1 2^nn!
A partir da soma da série geométrica sumn=1^infty x^n, para |x|<1, encontre as somas das séries abaixo.
© sumn=1^infty n2^n
ll senh x=e^x-e^-x2 & seno hiperbólico de x cosh x=e^x+e^-x2 & cosseno hiperbólico de x óó
Com base nelas, calcule:
© cosh (ln x) e senh(ln x)
Classifique as séries numéricas abaixo como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando sua resposta.
(a) sumn=1^infty(-1)^n-1 (2^3 n+4-n)e^n n^3 n