Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(e)
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma série infinita: . O objetivo é descobrir se essa série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou se diverge. Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos de séries infinitas, como convergência absoluta, convergência condicional e teste da série alternada. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa convergência absoluta. Uma série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos também converge. Isso é importante porque, se uma série é absolutamente convergente, ela certamente converge.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa série. Primeiro, pegamos o valor absoluto dos termos:
Agora, precisamos verificar se essa nova série converge.
Passo 4
Observemos que (fatorial de n) cresce muito mais rápido que conforme n aumenta. Para ter uma ideia, comparar com mostra que o numerador cresce exponencialmente, enquanto o denominador também cresce exponencialmente, mas muito mais devagar.
Passo 5
Para confirmar isso, podemos usar o Teste da Série Divergente, que diz que se o limite de limn to infty n!2^n+1 não for zero, a série diverge. Vamos calcular:
Sabemos que cresce mais rápido que , então esse limite é infinito.
Passo 6
Como o limite dos termos não é zero (na verdade, é infinito), pelo Teste da Série Divergente, a série diverge. Isso quer dizer que a série original não é absolutamente convergente.
Passo 7
Agora, vamos verificar se a série é condicionalmente convergente. Para isso, usamos o Teste da Série Alternada, que requer que:
Os termos sejam decrescentes.
O limite de seja zero.
Passo 8
Já vimos que , que não é zero. Além disso, os termos não são decrescentes, pois aumenta sempre que n aumenta. Portanto, o Teste da Série Alternada também não é satisfeito.