Classifique as séries numéricas abaixo como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando sua resposta.
(g)
(g)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos a série infinita
E precisamos classificá-la como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries numéricas, como testes de convergência, e simplificar a expressão para facilitar a análise.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Observamos que
sempre é igual a zero para qualquer inteiro
, porque o seno de múltiplos de
é zero. Assim:
Substituindo na série, temos:
Portanto, a série que vamos analisar agora é:
Passo 3
Agora, precisamos determinar se essa série converge ou diverge. Vamos usar o Teste da Comparação, que é útil para comparar nossa série com outra que já conhecemos a convergência ou divergência.
Observando a expressão
, podemos notar que para valores grandes de
, o termo
no denominador se torna insignificante comparado a
. Então, podemos comparar nossa série com:
Passo 4
A série
é conhecida como série harmônica, e sabemos que ela diverge. No Teste da Comparação, se nossa série tiver termos menores que uma série divergente, não podemos concluir necessariamente a convergência ou divergência.
Vamos comparar os termos:
Como os termos da nossa série são menores que os da série harmônica divergente, ainda não podemos afirmar nada com certeza. Precisamos tentar outro método.
Passo 5
Vamos utilizar o Teste da Integral, que é útil para determinar a convergência de séries com termos positivos e decrescentes.
Consideramos a função:
E avaliamos a integral:
Fazendo a substituição
, temos
ou
. Substituindo na integral:
Avaliar o limite da integral de 1 ao infinito:
Como a integral diverge, pelo Teste da Integral, a série
também diverge.
Passo 6
Uma série que diverge não é absolutamente convergente nem condicionalmente convergente, pois simplesmente não converge em nenhum sentido.
Resposta
A série
diverge.
Exercícios relacionados
Classifique as séries numéricas abaixo como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando sua resposta.
(a)
(a)
Com base nelas, calcule:
©
©
(b)
Determine o raio e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo.
(g)
(g)