Classifique as séries numéricas abaixo como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando sua resposta.
(g) sumn=1^infty n sin (n pi)+nn^2+5

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos a série infinita
sumn=1^infty n sin (n pi) + nn^2 + 5
E precisamos classificá-la como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries numéricas, como testes de convergência, e simplificar a expressão para facilitar a análise.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Observamos que sin(npi) = 0 sempre é igual a zero para qualquer inteiro n cdot 0 + nn^2 + 5 = nn^2 + 5 , porque o seno de múltiplos de sumn=1^infty nn^2 + 5 é zero. Assim:
Substituindo na série, temos:
Portanto, a série que vamos analisar agora é:

Passo 3

Agora, precisamos determinar se essa série converge ou diverge. Vamos usar o Teste da Comparação, que é útil para comparar nossa série com outra que já conhecemos a convergência ou divergência.
Observando a expressão sumn=1^infty nn^2 = sumn=1^infty 1n , podemos notar que para valores grandes de , o termo no denominador se torna insignificante comparado a . Então, podemos comparar nossa série com:

Passo 4

A série nn^2 + 5 < nn^2 = 1n é conhecida como série harmônica, e sabemos que ela diverge. No Teste da Comparação, se nossa série tiver termos menores que uma série divergente, não podemos concluir necessariamente a convergência ou divergência.
Vamos comparar os termos:
Como os termos da nossa série são menores que os da série harmônica divergente, ainda não podemos afirmar nada com certeza. Precisamos tentar outro método.

Passo 5

Vamos utilizar o Teste da Integral, que é útil para determinar a convergência de séries com termos positivos e decrescentes.
Consideramos a função:
f(n) = nn^2 + 5
E avaliamos a integral:
integral1^infty nn^2 + 5 , dn
Fazendo a substituição integral nn^2 + 5 , dn = 12 integral duu = 12 ln|u| + C = 12 ln(n^2 + 5) + C , temos limb to infty [ 12 ln(b^2 + 5) - 12 ln(1^2 + 5) ] = infty ou . Substituindo na integral:
Avaliar o limite da integral de 1 ao infinito:
Como a integral diverge, pelo Teste da Integral, a série também diverge.

Passo 6

Uma série que diverge não é absolutamente convergente nem condicionalmente convergente, pois simplesmente não converge em nenhum sentido.

Resposta

A série
sumn=1^infty n sin (n pi) + nn^2 + 5
diverge.

Exercícios relacionados

Classifique as séries numéricas abaixo como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando sua resposta.
(a) sumn=1^infty(-1)^n-1 (2^3 n+4-n)e^n n^3 n
ll senh x=e^x-e^-x2 & seno hiperbólico de x cosh x=e^x+e^-x2 & cosseno hiperbólico de x óó
Com base nelas, calcule:
© cosh (ln x) e senh(ln x)
(b) ln(e^2) + e^(-ln(e))
Determine o raio e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo.
(g) sumn=0^infty n(x+2)^n3^n+1