Determine o raio e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo.
(g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o raio e o intervalo de convergência da série de potências dada por:
Aqui, vamos trabalhar com séries de potências, que são somas infinitas onde cada termo envolve uma potência de . Para descobrir o raio e o intervalo de convergência, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a série para facilitar os cálculos. Observe que podemos reescrever a série da seguinte forma:
Essa simplificação nos ajuda a identificar a razão que será usada no Teste da Razão.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que para a série , se:
se an+1an = (n+1) ( x+23 )^n+1n ( x+23 )^n = n+1n cdot x+23 , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Aplicando isso à nossa série, temos:
Então,
Passo 4
Agora, calculamos o limite quando L = limn to infty | n+1n cdot x+23 | = | x+23 | cdot limn to infty (1 + 1n) = | x+23 | tende ao infinito:
Passo 5
Para a série convergir, precisamos que | x+23 | < 1 :
|x + 2| < 3
Resolvendo essa desigualdade:
-3 < x + 2 < 3
Isso implica que:
-5 < x < 1
Subtraindo 2 em todas as partes:
Passo 6
O intervalo encontrado R = 62 = 3 é onde a série converge. O raio de convergência é a metade da largura desse intervalo. Como a largura é , então:
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .