Classifique as séries numéricas abaixo como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente classificar a série infinita
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries alternadas e criterios de convergência, como o Teste da série alternada e o Teste da convergência absoluta.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a série sem considerar o fator alternado . Isso nos ajuda a verificar a convergência absoluta.
A série sem o termo alternado fica:
Para simplificar, observamos que . Então podemos reescrever o numerador:
Para grande, domina sobre , então podemos aproximar:
Então a série simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos analisar o termo geral da série:
Queremos verificar se a série converge. Vamos usar o Teste da Raiz, que é útil quando temos potências de .
Segundo o Teste da Raiz, calculamos:
Simplificando:
Como o limite é menor que 1, pela Critério da Raiz, a série converge absolutamente.
Passo 4
Já que a série sem o termo alternado converge absolutamente, isso significa que a série original também converge absolutamente. A convergência absoluta implica que a série não apenas converge, mas também que convergirá mesmo se removermos o termo alternado.