Determine as equações paramétricas da reta tangente à curva dada no ponto indicado.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar as equações paramétricas da reta tangente à curva no ponto . O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de derivadas e a geometria analítica, que nos ajudam a determinar a direção da reta tangente em um ponto específico de uma curva no espaço. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas das funções que definem a curva e usar essas informações para obter as equações paramétricas da reta.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a curva dada pelo sistema de equações:
Como é constante, podemos substituir esse valor na equação de para obter em termos de :
Então, a curva pode ser parametrizada por , com e .
Passo 3
Agora, vamos considerar como nosso parâmetro . Assim, as equações paramétricas da curva são:
Para encontrar a reta tangente no ponto , precisamos calcular as derivadas dessas funções em relação a no ponto onde .
Passo 4
Calculando as derivadas:
No ponto :
Então, o vetor diretor da reta tangente é .
Passo 5
Agora que temos o vetor diretor e o ponto pelo qual a reta passa, podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente. As equações paramétricas de uma reta no espaço são dadas por:
Onde é o ponto da reta e são as componentes do vetor diretor.
Resposta
As equações paramétricas da reta tangente à curva no ponto são: