Classifique as séries numéricas abaixo como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente classificar a série numérica como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar usar testes de convergência de séries numéricas, que nos ajudam a determinar se a soma infinita realmente chega a um valor finito ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a série em termos absolutos, ou seja, ignorando o . Isso nos dá a série . Queremos verificar se essa série converge ou diverge.
Passo 3
Para determinar a convergência dessa série, vamos usar o Teste da Razão, que é útil quando temos potências envolvendo . O teste da razão considera o limite:
Se , a série converge absolutamente. Se , a série diverge. Se , o teste é inconclusivo.
Vamos calcular esse limite para nossa série:
Então,
Simplificando:
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Sabemos que para grande, então:
Portanto,
E,
Assim,
Passo 4
Como o limite é menor que 1, pelo Teste da Razão, a série é absolutamente convergente.