Classifique as séries numéricas abaixo como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente classificar a série numérica como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar usar testes de convergência de séries numéricas, que nos ajudam a determinar se a soma infinita realmente chega a um valor finito ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a série em termos absolutos, ou seja, ignorando o . Isso nos dá a série . Queremos verificar se essa série converge ou diverge.

Passo 3

Para determinar a convergência dessa série, vamos usar o Teste da Razão, que é útil quando temos potências envolvendo . O teste da razão considera o limite:
Se , a série converge absolutamente. Se , a série diverge. Se , o teste é inconclusivo.
Vamos calcular esse limite para nossa série:
Então,
Simplificando:
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Sabemos que para grande, então:
Portanto,
E,
Assim,

Passo 4

Como o limite é menor que 1, pelo Teste da Razão, a série é absolutamente convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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Calcule nos seguintes casos:
(b) e
Calcule os limites a seguir:
(k)
Calcule os limites a seguir:
§
Considere a função . Calcule as derivadas parciais e , no caso em que e .