Classifique o sistema, suas incógnitas e encontre o seu conjunto solução.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um sistema de equações com três incógnitas: , e . O objetivo aqui é classificar o sistema, identificar suas incógnitas e encontrar o conjunto solução. Para resolver isso, vamos usar o método de eliminação para simplificar as equações e achar os valores das incógnitas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema direitinho:
Nosso objetivo é eliminar uma das incógnitas para facilitar. Vamos começar eliminando o (x - 3y - 2z) + (-x + 2y + z) = 0 + 0 . Para isso, podemos somar a primeira e a segunda equação:
- y - z = 0 Rightarrow y + z = 0
Simplificando:
y + z = 0 (Equação 4)
Então, temos uma nova equação:
çã
Passo 3
Agora, vamos eliminar o 2(x - 3y - 2z) = 2 cdot 0 Rightarrow 2x - 6y - 4z = 0 novamente, mas desta vez usando a primeira e a terceira equação. Para facilitar a eliminação, podemos multiplicar a primeira equação por 2:
(2x - 6y - 4z) - (2x + 4y + 6z) = 0 - 0
Agora, subtraímos a terceira equação dessa nova equação:
-10y - 10z = 0 Rightarrow y + z = 0
Simplificando:
Interessante! Obtemos novamente , que já tínhamos na Equação 4. Isso significa que a terceira equação não adiciona nenhuma informação nova ao sistema.
Passo 4
Agora, vamos voltar para a Equação 4:
y + z = 0 Rightarrow y = -z
Com isso, podemos expressar - x + 2y + z = 0 Rightarrow -x + 2(-z) + z = 0 em termos de - x - 2z + z = 0 Rightarrow -x - z = 0 Rightarrow x = -z . Vamos substituir na segunda equação original:
Simplificando:
Agora, temos e . Parece que todas as variáveis estão expressas em termos de .
Passo 5
Vamos resumir o que encontramos:
x = -z y = -z
Como não temos mais equações para limitar (x, y, z) = (-z, -z, z) onde z in R , isso significa que pode ser qualquer número real. Portanto, o sistema tem infinitas soluções, e podemos expressar o conjunto solução em termos de :
Resposta
O sistema é compatível indeterminado e possui infinitas soluções. O conjunto solução é dado por: