Sejam os vetores u=(2, m,-1), v=(3,1,-2) e w=(2 m-1,-2,4). Determine m de modo que u cdot v=(u+v) cdot(u+w).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o valor de de tal forma que o produto escalar dos vetores e seja igual ao produto escalar da soma de e com a soma de e . Basicamente, vamos trabalhar com produto escalar de vetores e usar propriedades dele para resolver o problema. Precisaremos lembrar como calcular o produto escalar e como somar vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3 . O produto escalar de dois vetores u cdot v = 2 times 3 + m times 1 + (-1) times (-2) = 6 + m + 2 = 8 + m e é dado por:
Aplicando isso aos vetores e :

Passo 3

Agora, vamos calcular u + v = (2 + 3, , m + 1, , -1 + (-2)) = (5, , m + 1, , -3) e u + w = (2 + (2m - 1), , m + (-2), , -1 + 4) = (2m + 1, , m - 2, , 3) . A soma de vetores é feita somando componente a componente.
Para :
Para :

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar (u + v) cdot (u + w) = 5 times (2m + 1) + (m + 1) times (m - 2) + (-3) times 3 usando a mesma fórmula do produto escalar:
5 times (2m + 1) = 10m + 5
Vamos resolver cada parte:
(m + 1) times (m - 2) = m^2 - 2m + m - 2 = m^2 - m - 2
(-3) times 3 = -9
10m + 5 + m^2 - m - 2 - 9 = m^2 + 9m - 6
Somando tudo:

Passo 5

Agora, igualamos os dois produtos escalares conforme o enunciado:
u cdot v = (u + v) cdot (u + w)
Substituindo os valores que encontramos:
8 + m = m^2 + 9m - 6
Vamos reorganizar a equação para resolver para 0 = m^2 + 9m - 6 - 8 - m :
0 = m^2 + 8m - 14

Passo 6

Agora, temos uma equação quadrática:
m^2 + 8m - 14 = 0
Para resolver essa equação, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
m = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde De, m = -8 pm raiz1202 = -8 pm 2raiz302 = -4 pm raiz30 e . Vamos calcular o discriminante:
Então:

Resposta

O valor de m = -4 + raiz30 ou m = -4 - raiz30 que satisfaz a condição dada é:

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