Sejam os vetores
e
. Determine
de modo que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o valor de
de tal forma que o produto escalar dos vetores
e
seja igual ao produto escalar da soma de
e
com a soma de
e
. Basicamente, vamos trabalhar com produto escalar de vetores e usar propriedades dele para resolver o problema. Precisaremos lembrar como calcular o produto escalar e como somar vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto escalar
. O produto escalar de dois vetores
e
é dado por:
Aplicando isso aos vetores
e
:
Passo 3
Agora, vamos calcular
e
. A soma de vetores é feita somando componente a componente.
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto escalar
usando a mesma fórmula do produto escalar:
Vamos resolver cada parte:
Somando tudo:
Passo 5
Agora, igualamos os dois produtos escalares conforme o enunciado:
Substituindo os valores que encontramos:
Vamos reorganizar a equação para resolver para
:
Passo 6
Agora, temos uma equação quadrática:
Para resolver essa equação, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
. Vamos calcular o discriminante:
Então:
Resposta
O valor de
que satisfaz a condição dada é:
Exercícios relacionados
Os vetores
e
formam ângulo de
radianos. Se
determine o ângulo entre
.
Considere os vetores
e
.
Determine um vetor unitário e paralelo ao vetor
Determine um vetor unitário e paralelo ao vetor
Considere os vetores
e
.
Determine o cosseno do ângulo formado por e
.
Determine o cosseno do ângulo formado por
Classifique o sistema, suas incógnitas e encontre o seu conjunto solução.