Considere os vetores u=(1,2,-3) e v=(2,2,-3).
Determine o cosseno do ângulo formado por u e v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá dois vetores no espaço tridimensional: u = (1, 2, -3) e v = (2, 2, -3). A gente precisa descobrir o cosseno do ângulo formado entre esses dois vetores. Para resolver isso, vamos usar a matéria de álgebra vetorial, especificamente o produto interno (também conhecido como produto escalar) e normas dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto interno. O produto interno entre dois vetores u e v é uma operação que resulta em um número real e é calculado multiplicando as componentes correspondentes dos vetores e somando esses produtos. A fórmula é:
u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3
Além disso, precisamos calcular a norma (ou comprimento) de cada vetor. A norma de um vetor u é calculada pela raiz quadrada da soma dos quadrados de suas componentes:
|u| = raizu1^2 + u2^2 + u3^2

Passo 3

Agora, para encontrar o cosseno do ângulo theta entre os dois vetores, usamos a seguinte relação que vem da definição do produto interno:
u cdot v = |u| cdot |v| cdot cos(theta)
Aí, isola-se cos(theta):
cos(theta) = u cdot v|u| cdot |v|
Então, nosso objetivo é calcular u cdot v e as normas |u| e |v|, e depois substituir na fórmula para encontrar o cosseno do ângulo.

Passo 4

Vamos calcular cada parte:
  1. Produto interno u cdot v:
u cdot v = (1)(2) + (2)(2) + (-3)(-3) = 2 + 4 + 9 = 15
  1. Norma de u:
|u| = raiz1^2 + 2^2 + (-3)^2 = raiz1 + 4 + 9 = raiz14
  1. Norma de v:
|v| = raiz2^2 + 2^2 + (-3)^2 = raiz4 + 4 + 9 = raiz17

Resposta

Agora, substituindo esses valores na fórmula do cosseno:
cos(theta) = 15raiz14 cdot raiz17 = 15raiz238 approx 1515,43 approx 0,973
Então, o cosseno do ângulo formado pelos vetores u e v é aproximadamente 0,973.

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