Classifique os sistemas abaixo e resolva apenas os possíveis e determinandos:
cx+3 y+5 z=2 2 x+9 y+15 z=4 3 x+6 y+10 z=6.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu um sistema de equações com três variáveis: , e . Nosso objetivo é classificar esse sistema para ver se ele tem solução (ou seja, se é possível), e se essa solução é única (determinada) ou não (indeterminada). Para fazer isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como o método de substituição e análise de determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais clara:
x + 3y + 5z = 2 2x + 9y + 15z = 4 3x + 6y + 10z = 6

Passo 3

Vamos começar simplificando o sistema. Pegamos a primeira equação e multiplicamos por 2 para comparar com a segunda equação:
2(x + 3y + 5z) = 2 times 2 2x + 6y + 10z = 4
Agora, subtraímos essa nova equação da segunda original:
(2x + 9y + 15z) - (2x + 6y + 10z) = 4 - 4 0x + 3y + 5z = 0

Passo 4

Fazemos o mesmo com a primeira equação, multiplicando por 3 para comparar com a terceira equação:
3(x + 3y + 5z) = 3 times 2 3x + 9y + 15z = 6
Agora, subtraímos essa nova equação da terceira original:
(3x + 6y + 10z) - (3x + 9y + 15z) = 6 - 6 0x - 3y -5z = 0

Passo 5

Agora temos duas novas equações:
3y + 5z = 0 -3y -5z = 0
Somando essas duas equações:
(3y + 5z) + (-3y -5z) = 0 + 0 0y + 0z = 0
Isso confirma que as duas equações são dependentes e não trazem novas informações, então podemos resolver uma delas para encontrar uma relação entre e .

Passo 6

Vamos resolver a primeira das novas equações para 3y + 5z = 0 3y = -5z y = -53z :

Passo 7

Agora, voltamos à primeira equação original para encontrar x + 3y +5z = 2 x + 3(-53z) +5z = 2 x -5z +5z = 2 x = 2 :

Passo 8

Substituímos 3y +5z =0 3(-53z) +5z =0 -5z +5z =0 0 =0 na segunda equação simplificada:
Isso confirma que qualquer valor de satisfará a equação, mas para manter a consistência com , escolhemos , o que dá .

Resposta

A solução do sistema é , e .

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