Exiba uma base de tal que seja a base dual.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente precisa encontrar uma base para o espaço vetorial de tal forma que o conjunto seja a base dual dessa base que a gente vai construir. Isso envolve álgebra linear, especificamente os conceitos de bases e bases dual.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base dual. Se é um espaço vetorial de dimensão 3, a base dual de , denotada por , é um conjunto de funcionais lineares que satisfazem:
Aqui, é o delta de Kronecker, que vale 1 se e 0 caso contrário. Ou seja, cada funcional “seleciona” apenas o vetor da base que a gente quer encontrar, retornando 1 para ele e 0 para os outros.

Passo 3

Agora, para construir a base que corresponde a essa base dual , a gente precisa garantir que:
Isso significa que cada vetor da base deve ser “perfeito” para que apenas o correspondente funcional dual lhe dê 1, e os demais deem 0.

Passo 4

Vamos construir explicitamente esses vetores. Uma forma prática é considerar a aplicação dos funcionais nos vetores padrão. Mas como a questão é genérica, vamos definir os vetores de forma que satisfaçam as condições acima.
Por exemplo, podemos definir:

Passo 5

Com esses vetores, a base satisfaz exatamente que seja a base dual, pois:
Então, essa é a base que a gente estava procurando.

Resposta

A base de que satisfaz que seja a base dual é:

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.
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Dê as condições.
Classifique os sistemas abaixo e resolva apenas os possíveis e determinandos:
.
Verifique se preserva produto interno.