Exiba uma base de
tal que
seja a base dual.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente precisa encontrar uma base para o espaço vetorial
de tal forma que o conjunto
seja a base dual dessa base que a gente vai construir. Isso envolve álgebra linear, especificamente os conceitos de bases e bases dual.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base dual. Se
é um espaço vetorial de dimensão 3, a base dual de
, denotada por
, é um conjunto de funcionais lineares
que satisfazem:
Aqui,
é o delta de Kronecker, que vale 1 se
e 0 caso contrário. Ou seja, cada funcional
“seleciona” apenas o vetor
da base que a gente quer encontrar, retornando 1 para ele e 0 para os outros.
Passo 3
Agora, para construir a base
que corresponde a essa base dual
, a gente precisa garantir que:
Isso significa que cada vetor da base
deve ser “perfeito” para que apenas o correspondente funcional dual lhe dê 1, e os demais deem 0.
Passo 4
Vamos construir explicitamente esses vetores. Uma forma prática é considerar a aplicação dos funcionais nos vetores padrão. Mas como a questão é genérica, vamos definir os vetores
de forma que satisfaçam as condições acima.
Por exemplo, podemos definir:
Passo 5
Com esses vetores, a base
satisfaz exatamente que
seja a base dual, pois:
Então, essa é a base que a gente estava procurando.
Resposta
A base de
que satisfaz que
seja a base dual é: