Exiba uma base de V tal que f1, f2, f3 seja a base dual.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente precisa encontrar uma base para o espaço vetorial de tal forma que o conjunto seja a base dual dessa base que a gente vai construir. Isso envolve álgebra linear, especificamente os conceitos de bases e bases dual.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base dual. Se fi(vj) = de é um espaço vetorial de dimensão 3, a base dual de , denotada por , é um conjunto de funcionais lineares que satisfazem:
Aqui, é o delta de Kronecker, que vale 1 se e 0 caso contrário. Ou seja, cada funcional “seleciona” apenas o vetor da base que a gente quer encontrar, retornando 1 para ele e 0 para os outros.

Passo 3

Agora, para construir a base f1(v1) = 1, f1(v2) = 0, f1(v3) = 0 que corresponde a essa base dual f2(v1) = 0, f2(v2) = 1, f2(v3) = 0 , a gente precisa garantir que:
f3(v1) = 0, f3(v2) = 0, f3(v3) = 1
Isso significa que cada vetor da base deve ser “perfeito” para que apenas o correspondente funcional dual lhe dê 1, e os demais deem 0.

Passo 4

Vamos construir explicitamente esses vetores. Uma forma prática é considerar a aplicação dos funcionais nos vetores padrão. Mas como a questão é genérica, vamos definir os vetores v1 = (f1(v1), f2(v1), f3(v1)) = (1, 0, 0) de forma que satisfaçam as condições acima.
Por exemplo, podemos definir:
v2 = (f1(v2), f2(v2), f3(v2)) = (0, 1, 0)
v3 = (f1(v3), f2(v3), f3(v3)) = (0, 0, 1)

Passo 5

Com esses vetores, a base fi(vj) = de satisfaz exatamente que seja a base dual, pois:
Então, essa é a base que a gente estava procurando.

Resposta

A base de v1, v2, v3 = (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) que satisfaz que seja a base dual é:

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