Verifique se preserva produto interno.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que verificar se a transformação linear preserva o produto interno. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre transformações lineares e propriedades de preservação de estruturas matemáticas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa preservar o produto interno e como aplicar essa definição para .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é produto interno. O produto interno, denotado por , é uma operação que associa dois vetores e e retorna um número real. Ele satisfaz certas propriedades, como linearidade, simetria e positividade.

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa uma transformação preservar o produto interno. Isso quer dizer que para quaisquer vetores e , o produto interno dos vetores transformados e é igual ao produto interno dos vetores originais e . Matematicamente, isso é expresso por:

Passo 4

Para verificar se preserva o produto interno, precisamos calcular e comparar com . Se eles forem iguais para todos os vetores e , então preserva o produto interno.

Passo 5

Vamos supor que seja representada por uma matriz . Então, e . O produto interno dos vetores transformados fica:

Passo 6

Para que preserve o produto interno, precisamos que:
Isso só é possível se , onde é a matriz identidade. Se isso acontecer, então:

Passo 7

Então, para concluir, se a matriz que representa satisfaz , isso significa que preserva o produto interno.

Resposta

A transformação preserva o produto interno se e somente se a matriz que a representa satisfaz . Portanto, verificamos que preserva o produto interno caso essa condição seja verdadeira.

Exercícios relacionados

Classifique os sistemas abaixo e resolva apenas os possíveis e determinandos:
.
Exiba uma base de tal que seja a base dual.
Podemos afirmar que as matrizes do item a) estão associadas a operadores unitários? Justifique.
Resolva os seguintes sistemas através do escalonamento:
.