Verifique se
preserva produto interno.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que verificar se a transformação linear
preserva o produto interno. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre transformações lineares e propriedades de preservação de estruturas matemáticas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa preservar o produto interno e como aplicar essa definição para
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é produto interno. O produto interno, denotado por
, é uma operação que associa dois vetores
e
e retorna um número real. Ele satisfaz certas propriedades, como linearidade, simetria e positividade.
Passo 3
Agora, vamos entender o que significa uma transformação
preservar o produto interno. Isso quer dizer que para quaisquer vetores
e
, o produto interno dos vetores transformados
e
é igual ao produto interno dos vetores originais
e
. Matematicamente, isso é expresso por:
Passo 4
Para verificar se
preserva o produto interno, precisamos calcular
e comparar com
. Se eles forem iguais para todos os vetores
e
, então
preserva o produto interno.
Passo 5
Vamos supor que
seja representada por uma matriz
. Então,
e
. O produto interno dos vetores transformados fica:
Passo 6
Para que
preserve o produto interno, precisamos que:
Isso só é possível se
, onde
é a matriz identidade. Se isso acontecer, então:
Passo 7
Então, para concluir, se a matriz que representa
satisfaz
, isso significa que
preserva o produto interno.
Resposta
A transformação
preserva o produto interno se e somente se a matriz que a representa satisfaz
. Portanto, verificamos que
preserva o produto interno caso essa condição seja verdadeira.