Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que verificar se a transformação linear preserva o produto interno. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre transformações lineares e propriedades de preservação de estruturas matemáticas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa preservar o produto interno e como aplicar essa definição para .
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é produto interno. O produto interno, denotado por , é uma operação que associa dois vetores e e retorna um número real. Ele satisfaz certas propriedades, como linearidade, simetria e positividade.
Passo 3
Agora, vamos entender o que significa uma transformação preservar o produto interno. Isso quer dizer que para quaisquer vetores e , o produto interno dos vetores transformados e é igual ao produto interno dos vetores originais e . Matematicamente, isso é expresso por:
Passo 4
Para verificar se preserva o produto interno, precisamos calcular e comparar com . Se eles forem iguais para todos os vetores e , então preserva o produto interno.
Passo 5
Vamos supor que seja representada por uma matriz . Então, e . O produto interno dos vetores transformados fica:
Passo 6
Para que preserve o produto interno, precisamos que:
Isso só é possível se , onde é a matriz identidade. Se isso acontecer, então:
Passo 7
Então, para concluir, se a matriz que representa satisfaz , isso significa que preserva o produto interno.
Resposta
A transformação preserva o produto interno se e somente se a matriz que a representa satisfaz . Portanto, verificamos que preserva o produto interno caso essa condição seja verdadeira.