Determine os valores de para que os sistemas sejam normais: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações com três incógnitas , e , e um parâmetro . O objetivo é descobrir para quais valores de esse sistema é normal. Mas o que isso significa? Um sistema normal, nesse contexto, é aquele que tem uma solução única, ou seja, as equações não se contradizem e não são dependentes. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de matrizes e determinantes, já que eles nos ajudam a saber se o sistema tem solução única.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma matricial. Isso ajuda a visualizar melhor o que está acontecendo. O sistema dado é:
x + y + z = 1 k x + 2 y + 3 z = 7 k^2 x + 4 y + 9 z = 1
Podemos representar isso na forma de uma matriz A = 1 & 1 & 1 k & 2 & 3 k^2 & 4 & 9 e b = 1 7 1 de coeficientes e um vetor :
Passo 3
Para o sistema ter uma solução única, a matriz de coeficientes precisa ser invertível. E uma matriz é invertível se e somente se o seu determinante é diferente de zero. Então, vamos calcular o determinante de e encontrar para quais valores de ele não é zero.
Passo 4
Vamos calcular o determinante de det(A) = 1 & 1 & 1 k & 2 & 3 k^2 & 4 & 9 :