Determine os valores de para que os sistemas sejam normais:
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações com três incógnitas , e , e um parâmetro . O objetivo é descobrir para quais valores de esse sistema é normal. Mas o que isso significa? Um sistema normal, nesse contexto, é aquele que tem uma solução única, ou seja, as equações não se contradizem e não são dependentes. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de matrizes e determinantes, já que eles nos ajudam a saber se o sistema tem solução única.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma matricial. Isso ajuda a visualizar melhor o que está acontecendo. O sistema dado é:
Podemos representar isso na forma de uma matriz de coeficientes e um vetor :

Passo 3

Para o sistema ter uma solução única, a matriz de coeficientes precisa ser invertível. E uma matriz é invertível se e somente se o seu determinante é diferente de zero. Então, vamos calcular o determinante de e encontrar para quais valores de ele não é zero.

Passo 4

Vamos calcular o determinante de :
Usando a regra de Sarrus ou expansão de cofatores, vamos calcular:
Simplificando cada termo:
Então, temos:

Passo 5

Queremos que o determinante seja diferente de zero para que o sistema seja normal:
Vamos resolver a equação para encontrar os valores de que tornam o determinante zero:
Podemos fatorar:
Então, as soluções são:

Passo 6

Como queremos que o determinante seja diferente de zero, os valores que não podem ser são e .

Resposta

Os valores de que tornam o sistema normal são todos os números reais exceto e . Ou seja, tal que e .

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