Determine os valores de k in Re para que os sistemas sejam normais:
cx+y+z=1 k x+2 y+3 z=7 k^2 x+4 y+9 z=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações com três incógnitas , e , e um parâmetro . O objetivo é descobrir para quais valores de esse sistema é normal. Mas o que isso significa? Um sistema normal, nesse contexto, é aquele que tem uma solução única, ou seja, as equações não se contradizem e não são dependentes. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de matrizes e determinantes, já que eles nos ajudam a saber se o sistema tem solução única.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma matricial. Isso ajuda a visualizar melhor o que está acontecendo. O sistema dado é:
x + y + z = 1 k x + 2 y + 3 z = 7 k^2 x + 4 y + 9 z = 1
Podemos representar isso na forma de uma matriz A = 1 & 1 & 1 k & 2 & 3 k^2 & 4 & 9 e b = 1 7 1 de coeficientes e um vetor :

Passo 3

Para o sistema ter uma solução única, a matriz de coeficientes precisa ser invertível. E uma matriz é invertível se e somente se o seu determinante é diferente de zero. Então, vamos calcular o determinante de e encontrar para quais valores de ele não é zero.

Passo 4

Vamos calcular o determinante de det(A) = 1 & 1 & 1 k & 2 & 3 k^2 & 4 & 9 :
det(A) = 1 cdot (2 cdot 9 - 3 cdot 4) - 1 cdot (k cdot 9 - 3 cdot k^2) + 1 cdot (k cdot 4 - 2 cdot k^2)
Usando a regra de Sarrus ou expansão de cofatores, vamos calcular:
= 1 cdot (18 - 12) - 1 cdot (9k - 3k^2) + 1 cdot (4k - 2k^2)
Simplificando cada termo:
= 6 - (9k - 3k^2) + (4k - 2k^2)
= 6 - 9k + 3k^2 + 4k - 2k^2
= 6 - 5k + k^2
det(A) = k^2 - 5k + 6
Então, temos:

Passo 5

Queremos que o determinante seja diferente de zero para que o sistema seja normal:
k^2 - 5k + 6 neq 0
Vamos resolver a equação k^2 - 5k + 6 = 0 para encontrar os valores de (k - 2)(k - 3) = 0 que tornam o determinante zero:
k = 2 ou k = 3
Podemos fatorar:
Então, as soluções são:

Passo 6

Como queremos que o determinante seja diferente de zero, os valores que não podem ser são e .

Resposta

Os valores de que tornam o sistema normal são todos os números reais exceto e . Ou seja, tal que e .

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