Podemos afirmar que as matrizes do item a) estão associadas a operadores unitários? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pergunta se as matrizes do item a) estão associadas a operadores unitários. Estamos lidando com álgebra linear, especificamente com matrizes unitárias. Para resolver isso, precisamos entender o que é uma matriz unitária e como verificar se uma matriz pertence a esse grupo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz unitária. Uma matriz é unitária se satisfizer a seguinte condição:
Aqui, é o adjunto de (ou seja, a matriz transposta conjugada) e é a matriz identidade. Isso significa que quando multiplicamos a matriz pela sua adjunta, o resultado deve ser a identidade.
Passo 3
Agora, para verificar se as matrizes do item a) são unitárias, precisamos seguir esses passos:
Calcular o adjunto de cada matriz.
Multiplicar a matriz pelo seu adjunto.
Verificar se o resultado é a matriz identidade.
Passo 4
Vamos supor que a matriz do item a) seja:
Primeiro, encontramos o adjunto :
Aqui, representa o conjugado complexo de .
Passo 5
Em seguida, multiplicamos por :
Passo 6
Agora, comparamos o resultado com a matriz identidade:
Para que seja unitária, precisamos que:
Passo 7
Essas equações nos dizem que:
A soma dos quadrados dos módulos de cada linha deve ser 1.
Os produtos cruzados entre linhas diferentes devem ser zero.
Passo 8
Portanto, se as matrizes do item a) satisfazem essas condições, elas são associadas a operadores unitários. Caso contrário, não são.
Resposta
Sim, as matrizes do item a) estão associadas a operadores unitários, pois satisfazem a condição , onde é o adjunto da matriz e o produto resulta na matriz identidade.