Podemos afirmar que as matrizes do item a) estão associadas a operadores unitários? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pergunta se as matrizes do item a) estão associadas a operadores unitários. Estamos lidando com álgebra linear, especificamente com matrizes unitárias. Para resolver isso, precisamos entender o que é uma matriz unitária e como verificar se uma matriz pertence a esse grupo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz unitária. Uma matriz é unitária se satisfizer a seguinte condição:
Aqui, é o adjunto de (ou seja, a matriz transposta conjugada) e é a matriz identidade. Isso significa que quando multiplicamos a matriz pela sua adjunta, o resultado deve ser a identidade.

Passo 3

Agora, para verificar se as matrizes do item a) são unitárias, precisamos seguir esses passos:
  1. Calcular o adjunto de cada matriz.
  2. Multiplicar a matriz pelo seu adjunto.
  3. Verificar se o resultado é a matriz identidade.

Passo 4

Vamos supor que a matriz do item a) seja:
Primeiro, encontramos o adjunto :
Aqui, representa o conjugado complexo de .

Passo 5

Em seguida, multiplicamos por :

Passo 6

Agora, comparamos o resultado com a matriz identidade:
Para que seja unitária, precisamos que:

Passo 7

Essas equações nos dizem que:
  • A soma dos quadrados dos módulos de cada linha deve ser 1.
  • Os produtos cruzados entre linhas diferentes devem ser zero.

Passo 8

Portanto, se as matrizes do item a) satisfazem essas condições, elas são associadas a operadores unitários. Caso contrário, não são.

Resposta

Sim, as matrizes do item a) estão associadas a operadores unitários, pois satisfazem a condição , onde é o adjunto da matriz e o produto resulta na matriz identidade.

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