Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
Passo 1
Então, você tem uma série de potências que precisa descobrir qual é o intervalo e o raio de convergência. A série é:
Vamos usar conceitos de teoria de séries e, mais especificamente, o Teste da Razão para encontrar onde essa série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste ajuda a determinar o raio de convergência de séries de potências. A ideia é calcular o limite da razão entre o termo geral e quando tende ao infinito.
Passo 3
Vamos identificar o termo geral da nossa série:
Agora, vamos encontrar :
Passo 4
Aplicando o Teste da Razão, calculamos:
Substituindo L = limn to +infty | (2n+3)!(n+1)^3(x-2)^n+1 cdot n^3(2n+1)!(x-2)^-n | e L = limn to +infty | (2n+3)(2n+2)(2n+1)!(n+1)^3(x-2) cdot n^3(2n+1)! | :
L = limn to +infty | (2n+3)(2n+2)(n+1)^3 n^3 (x-2) |
Simplificando:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
L = limn to +infty | (2n+3)(2n+2)(n+1)^3 n^3 | cdot |x-2|
Dividindo cada termo por L = limn to +infty | (2 + 3n)(2 + 2n)(1 + 1n)^3 cdot 1 | cdot |x-2| :
L = | 2 cdot 21^3 | cdot |x-2| = 4 |x-2|
Quando tende ao infinito, as frações com no denominador vão a zero:
Passo 6
Para a série convergir pelo Teste da Razão, precisamos que 4 |x - 2| < 1 :
|x - 2| < 14
Resolvendo para :
Resposta
O raio de convergência é ( 2 - 14, 2 + 14 ) ou ( 74, 94 ) e o intervalo de convergência é: