Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente precisa determinar o intervalo e o raio de convergência da série de potências dada:
Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e testes de convergência, como o Teste da Razão ou o Teste da Raiz. Vamos precisar entender como aplicar esses testes para encontrar até onde a série converge (raio de convergência) e em quais valores de ela realmente funciona (intervalo de convergência).
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a série de potências na forma geral:
Aqui, e . O é o centro da série, ou seja, a série está centrada em .
Passo 3
Para encontrar o raio de convergência, vamos usar o Teste da Razão. Esse teste nos diz que:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Vamos calcular :
Como , o Teste da Razão não nos ajuda diretamente. Então, vamos tentar o Teste da Série Alternada, já que a série tem termos alternados devido a .
Passo 4
A Série Alternada converge se duas condições forem satisfeitas:
Os termos são decrescentes: para todo .
.
Vamos verificar essas condições:
se .
se .
Portanto, a série converge para , ou seja, .
Passo 5
Agora, vamos determinar o raio de convergência sumn=1^+infty(-1)^n+1 (0-1)^nn = sumn=1^+infty(-1)^n+1 (-1)^nn = sumn=1^+infty (-1)^2n+1n = -sumn=1^+infty 1n . Sabemos que sumn=1^+infty(-1)^n+1 (2-1)^nn = sumn=1^+infty(-1)^n+1 1n , onde . Aqui, , então .
Também precisamos verificar os pontos finais do intervalo e :
Em :
Essa é a série harmônica, que diverge.
Em :
Essa é a Série Alternada Harmônica, que converge.
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .