Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
sumn=1^+infty(-1)^n+1 (x-1)^nn

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente precisa determinar o intervalo e o raio de convergência da série de potências dada:
sumn=1^+infty(-1)^n+1 (x-1)^nn
Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e testes de convergência, como o Teste da Razão ou o Teste da Raiz. Vamos precisar entender como aplicar esses testes para encontrar até onde a série converge (raio de convergência) e em quais valores de ela realmente funciona (intervalo de convergência).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a série de potências na forma geral:
sumn=1^+infty an (x - c)^n
Aqui, e . O é o centro da série, ou seja, a série está centrada em .

Passo 3

Para encontrar o raio de convergência limn to infty | an+1an | = L , vamos usar o Teste da Razão. Esse teste nos diz que:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty | (-1)^(n+1)+1/(n+1)(-1)^n+1/n | = limn to infty | nn+1 | = limn to infty nn+1 = 1
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Vamos calcular :
Como , o Teste da Razão não nos ajuda diretamente. Então, vamos tentar o Teste da Série Alternada, já que a série tem termos alternados devido a .

Passo 4

A Série Alternada converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. Os termos são decrescentes: para todo .
  2. .
Vamos verificar essas condições:
  1. se .
  2. se .
Portanto, a série converge para , ou seja, .

Passo 5

Agora, vamos determinar o raio de convergência sumn=1^+infty(-1)^n+1 (0-1)^nn = sumn=1^+infty(-1)^n+1 (-1)^nn = sumn=1^+infty (-1)^2n+1n = -sumn=1^+infty 1n . Sabemos que sumn=1^+infty(-1)^n+1 (2-1)^nn = sumn=1^+infty(-1)^n+1 1n , onde . Aqui, , então .
Também precisamos verificar os pontos finais do intervalo e :
  • Em :
Essa é a série harmônica, que diverge.
  • Em :
Essa é a Série Alternada Harmônica, que converge.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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