Classifique (V) ou (F), justificando as suas respostas: ( ) Se
tem raio de convergência
, então as séries
também têm raio de convergência
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando se, se temos uma série de potências
com raio de convergência
, então as séries
e
também têm o mesmo raio de convergência
. Vamos precisar usar o conceito de raio de convergência e como ele se comporta quando manipulamos as séries.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o raio de convergência. O raio de convergência
de uma série de potências
é o valor tal que a série converge absolutamente para
e diverge para
. Para encontrar
, geralmente usamos o teste da raiz ou o teste da razão.
Passo 3
Agora, vamos analisar a primeira série modificada:
. Essa série é basicamente a derivada da série original. Quando derivamos uma série de potências, o raio de convergência permanece o mesmo. Isso acontece porque a operação de derivação não muda o comportamento assintótico dos coeficientes
. Portanto, o raio de convergência dessa série também é
.
Passo 4
Em seguida, vamos olhar para a segunda série:
. Podemos reescrever essa série mudando o índice de soma. Vamos substituir
, então
. Assim, a série fica
. Isso é semelhante à série original, apenas com os índices e coeficientes ajustados, mas a taxa de crescimento dos coeficientes ainda está relacionada à série original. Portanto, o raio de convergência dessa série também permanece
.
Resposta
(V) Ambas as séries
e
têm raio de convergência
. Isso ocorre porque operações como derivação e ajuste de índices não alteram o raio de convergência da série original.
Exercícios relacionados
Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
Resolva as seguintes equações, explicitando a solução (quando possível):
Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir: