Classifique (V) ou (F), justificando as suas respostas: ( ) Se tem raio de convergência , então as séries também têm raio de convergência .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando se, se temos uma série de potências com raio de convergência , então as séries e também têm o mesmo raio de convergência . Vamos precisar usar o conceito de raio de convergência e como ele se comporta quando manipulamos as séries.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o raio de convergência. O raio de convergência de uma série de potências é o valor tal que a série converge absolutamente para e diverge para . Para encontrar , geralmente usamos o teste da raiz ou o teste da razão.

Passo 3

Agora, vamos analisar a primeira série modificada: . Essa série é basicamente a derivada da série original. Quando derivamos uma série de potências, o raio de convergência permanece o mesmo. Isso acontece porque a operação de derivação não muda o comportamento assintótico dos coeficientes . Portanto, o raio de convergência dessa série também é .

Passo 4

Em seguida, vamos olhar para a segunda série: . Podemos reescrever essa série mudando o índice de soma. Vamos substituir , então . Assim, a série fica . Isso é semelhante à série original, apenas com os índices e coeficientes ajustados, mas a taxa de crescimento dos coeficientes ainda está relacionada à série original. Portanto, o raio de convergência dessa série também permanece .

Resposta

(V) Ambas as séries e têm raio de convergência . Isso ocorre porque operações como derivação e ajuste de índices não alteram o raio de convergência da série original.

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