Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o intervalo de convergência e o raio de convergência da série de potências dada:
Aqui, estamos trabalhando com séries de potências, que são somas infinitas envolvendo potências de , onde é o centro da série. Para descobrir onde essa série converge (isto é, onde ela dá um resultado finito), vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta útil para determinar o raio de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é:
O Teste da Razão nos diz para calcular o limite:
Se , a série converge; se , ela diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Agora, calculamos o limite quando L = limn to infty |x-1| cdot nn+1 = |x-1| cdot limn to infty nn+1 = |x-1| cdot 1 = |x-1| tende ao infinito:
Passo 5
Aplicando o Teste da Razão, queremos que |x-1| < 1 para a série convergir:
-1 < x - 1 < 1 implies 0 < x < 2
Isso significa que deve estar entre -1 e 1:
Então, o raio de convergência é .
Passo 6
Agora, precisamos verificar os extremos do intervalo sumn=1^+infty (-1)^n+1 (0-1)^nn = sumn=1^+infty (-1)^n+1 (-1)^nn = sumn=1^+infty (-1)^2n+1n = -sumn=1^+infty 1n para ver se a série converge nesses pontos.
Para sumn=1^+infty (-1)^n+1 (2-1)^nn = sumn=1^+infty (-1)^n+1 1n :
Essa é a série harmônica, que é divergente.
Para :
Essa é a série alternada harmônica, que converge.
Resposta
O intervalo de convergência da série é e o raio de convergência é .