Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o intervalo de convergência e o raio de convergência da série de potências dada:
Aqui, estamos trabalhando com séries de potências, que são somas infinitas envolvendo potências de , onde é o centro da série. Para descobrir onde essa série converge (isto é, onde ela dá um resultado finito), vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta útil para determinar o raio de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é:
O Teste da Razão nos diz para calcular o limite:
Se , a série converge; se , ela diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Passo 3
Vamos calcular :
Simplificando:
Agora, vamos considerar o valor absoluto:
Passo 4
Agora, calculamos o limite quando tende ao infinito:
Passo 5
Aplicando o Teste da Razão, queremos que para a série convergir:
Isso significa que deve estar entre -1 e 1:
Então, o raio de convergência é .
Passo 6
Agora, precisamos verificar os extremos do intervalo para ver se a série converge nesses pontos.
Para :
Essa é a série harmônica, que é divergente.
Para :
Essa é a série alternada harmônica, que converge.
Resposta
O intervalo de convergência da série é e o raio de convergência é .