Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o intervalo de convergência e o raio de convergência da série de potências dada:
Aqui, estamos trabalhando com séries de potências, que são somas infinitas envolvendo potências de , onde é o centro da série. Para descobrir onde essa série converge (isto é, onde ela dá um resultado finito), vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta útil para determinar o raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é:
O Teste da Razão nos diz para calcular o limite:
Se , a série converge; se , ela diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos calcular :
Simplificando:
Agora, vamos considerar o valor absoluto:

Passo 4

Agora, calculamos o limite quando tende ao infinito:

Passo 5

Aplicando o Teste da Razão, queremos que para a série convergir:
Isso significa que deve estar entre -1 e 1:
Então, o raio de convergência é .

Passo 6

Agora, precisamos verificar os extremos do intervalo para ver se a série converge nesses pontos.
  1. Para :
Essa é a série harmônica, que é divergente.
  1. Para :
Essa é a série alternada harmônica, que converge.

Resposta

O intervalo de convergência da série é e o raio de convergência é .

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Resolva as seguintes equações, explicitando a solução (quando possível):
Classifique (V) ou (F), justificando as suas respostas: ( ) Se tem raio de convergência , então as séries também têm raio de convergência .
Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir: