Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir: sumn=1^+infty(-1)^n+1 (x-1)^nn

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o intervalo de convergência e o raio de convergência da série de potências dada:
sumn=1^+infty (-1)^n+1 (x-1)^nn
Aqui, estamos trabalhando com séries de potências, que são somas infinitas envolvendo potências de , onde é o centro da série. Para descobrir onde essa série converge (isto é, onde ela dá um resultado finito), vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta útil para determinar o raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é:
an = (-1)^n+1 (x-1)^nn
O Teste da Razão nos diz para calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Se , a série converge; se , ela diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos calcular an+1an = (-1)^(n+1)+1 (x-1)^n+1n+1(-1)^n+1 (x-1)^nn = (-1)^n+2 (x-1)^n+1 n(-1)^n+1 (x-1)^n (n+1) :
an+1an = - (x-1) cdot nn+1
Simplificando:
| an+1an | = | (x-1) cdot nn+1 | = |x-1| cdot nn+1
Agora, vamos considerar o valor absoluto:

Passo 4

Agora, calculamos o limite quando L = limn to infty |x-1| cdot nn+1 = |x-1| cdot limn to infty nn+1 = |x-1| cdot 1 = |x-1| tende ao infinito:

Passo 5

Aplicando o Teste da Razão, queremos que |x-1| < 1 para a série convergir:
-1 < x - 1 < 1 implies 0 < x < 2
Isso significa que deve estar entre -1 e 1:
Então, o raio de convergência é .

Passo 6

Agora, precisamos verificar os extremos do intervalo sumn=1^+infty (-1)^n+1 (0-1)^nn = sumn=1^+infty (-1)^n+1 (-1)^nn = sumn=1^+infty (-1)^2n+1n = -sumn=1^+infty 1n para ver se a série converge nesses pontos.
  1. Para sumn=1^+infty (-1)^n+1 (2-1)^nn = sumn=1^+infty (-1)^n+1 1n :
Essa é a série harmônica, que é divergente.
  1. Para :
Essa é a série alternada harmônica, que converge.

Resposta

O intervalo de convergência da série é e o raio de convergência é .

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