Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir: sumn=0^+infty 4^n+1 x^2 nn+3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre séries de potências! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o intervalo e o raio de convergência da série . Para isso, vamos usar conceitos de convergence de séries, especialmente o Teste da Razão, que ajuda a determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar o uso do Teste da Razão. Observa que sumn=0^+infty 4 cdot 4^n x^2nn+3 = 4 sumn=0^+infty (4x^2)^nn+3 pode ser escrito como . Então, a série fica:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão, que envolve calcular o limite:
L = limn to +infty | an+1an |
onde an+1 = 4^(n+1)+1 x^2(n+1)(n+1)+3 = 4^n+2 x^2n+2n+4 . Vamos calcular :

Passo 4

Agora, vamos formar a razão an+1an = 4^n+2 x^2n+2n+4 cdot n+34^n+1 x^2n = 4^n+24^n+1 cdot x^2n+2x^2n cdot n+3n+4 :
Simplificando cada parte:
4^n+24^n+1 = 4, x^2n+2x^2n = x^2, n+3n+4 approx 1 quando n to +infty
Então, a razão simplificada fica:
an+1an approx 4 cdot x^2 cdot 1 = 4x^2

Passo 5

Agora, aplicamos o limite para o Teste da Razão:
L = limn to +infty | an+1an | = |4x^2|
Para a série convergir, precisamos que |4x^2| < 1 Rightarrow 4x^2 < 1 Rightarrow x^2 < 14 Rightarrow |x| < 12 :

Passo 6

O raio de convergência R = 12 é o valor tal que a série converge para sumn=0^+infty 4^n+1 (12)^2nn+3 = sumn=0^+infty 4^n+1 cdot 14^nn+3 = sumn=0^+infty 4n+3 . Da inequação acima, vemos que:
Para o intervalo de convergência, verificamos os pontos finais :
  • Para :
Essa série é semelhante à série harmônica, que diverge.
  • Para :
O resultado será o mesmo, já que elimina o sinal negativo.
Então, a série não converge nos pontos finais.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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