Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre séries de potências! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o intervalo e o raio de convergência da série . Para isso, vamos usar conceitos de convergence de séries, especialmente o Teste da Razão, que ajuda a determinar onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar o uso do Teste da Razão. Observa que pode ser escrito como . Então, a série fica:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão, que envolve calcular o limite:
4^n+24^n+1 = 4, x^2n+2x^2n = x^2, n+3n+4 approx 1 quando n to +infty
Então, a razão simplificada fica:
an+1an approx 4 cdot x^2 cdot 1 = 4x^2
Passo 5
Agora, aplicamos o limite para o Teste da Razão:
L = limn to +infty | an+1an | = |4x^2|
Para a série convergir, precisamos que |4x^2| < 1 Rightarrow 4x^2 < 1 Rightarrow x^2 < 14 Rightarrow |x| < 12 :
Passo 6
O raio de convergência R = 12 é o valor tal que a série converge para sumn=0^+infty 4^n+1 (12)^2nn+3 = sumn=0^+infty 4^n+1 cdot 14^nn+3 = sumn=0^+infty 4n+3 . Da inequação acima, vemos que:
Para o intervalo de convergência, verificamos os pontos finais :
Para :
Essa série é semelhante à série harmônica, que diverge.
Para :
O resultado será o mesmo, já que elimina o sinal negativo.
Então, a série não converge nos pontos finais.
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .