Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre séries de potências! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o intervalo e o raio de convergência da série . Para isso, vamos usar conceitos de convergence de séries, especialmente o Teste da Razão, que ajuda a determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar o uso do Teste da Razão. Observa que pode ser escrito como . Então, a série fica:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão, que envolve calcular o limite:
onde . Vamos calcular :

Passo 4

Agora, vamos formar a razão :
Simplificando cada parte:
Então, a razão simplificada fica:

Passo 5

Agora, aplicamos o limite para o Teste da Razão:
Para a série convergir, precisamos que :

Passo 6

O raio de convergência é o valor tal que a série converge para . Da inequação acima, vemos que:
Para o intervalo de convergência, verificamos os pontos finais :
  • Para :
Essa série é semelhante à série harmônica, que diverge.
  • Para :
O resultado será o mesmo, já que elimina o sinal negativo.
Então, a série não converge nos pontos finais.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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Classifique (V) ou (F), justificando as suas respostas: ( ) Se tem raio de convergência , então as séries também têm raio de convergência .