Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre séries de potências! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o intervalo e o raio de convergência da série . Para isso, vamos usar conceitos de convergence de séries, especialmente o Teste da Razão, que ajuda a determinar onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar o uso do Teste da Razão. Observa que pode ser escrito como . Então, a série fica:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão, que envolve calcular o limite:
onde . Vamos calcular :
Passo 4
Agora, vamos formar a razão :
Simplificando cada parte:
Então, a razão simplificada fica:
Passo 5
Agora, aplicamos o limite para o Teste da Razão:
Para a série convergir, precisamos que :
Passo 6
O raio de convergência é o valor tal que a série converge para . Da inequação acima, vemos que:
Para o intervalo de convergência, verificamos os pontos finais :
Para :
Essa série é semelhante à série harmônica, que diverge.
Para :
O resultado será o mesmo, já que elimina o sinal negativo.
Então, a série não converge nos pontos finais.
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .