Resolva as seguintes equações, explicitando a solução (quando possível):
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para resolver a equação diferencial
. Isso tudo entra no assunto de Equações Diferenciais, e para resolver, vamos precisar usar o método de separação de variáveis. Basicamente, vamos separar as partes que envolvem
das que envolvem
para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis
e
:
Aqui, multiplicamos ambos os lados da equação por
para isolar
e
em lados opostos.
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar uma relação entre
e
:
Vamos resolver cada integral separadamente.
Passo 4
Começando pelo lado esquerdo:
Aqui, integramos
em relação a
e
em relação a
, onde
é uma constante de integração.
Passo 5
Agora, o lado direito:
Integramos
em relação a
e
em relação a
, onde
é outra constante de integração.
Passo 6
Juntando os resultados das integrais, temos:
Podemos combinar as constantes
e
em uma única constante
:
Resposta
A solução implícita da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Classifique (V) ou (F), justificando as suas respostas: ( ) Se
tem raio de convergência
, então as séries
também têm raio de convergência
.
Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
Resolva os seguintes problemas de valor inicial: