Resolva as seguintes equações, explicitando a solução (quando possível):

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para resolver a equação diferencial . Isso tudo entra no assunto de Equações Diferenciais, e para resolver, vamos precisar usar o método de separação de variáveis. Basicamente, vamos separar as partes que envolvem das que envolvem para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis e :
Aqui, multiplicamos ambos os lados da equação por para isolar e em lados opostos.

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar uma relação entre e :
Vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 4

Começando pelo lado esquerdo:
Aqui, integramos em relação a e em relação a , onde é uma constante de integração.

Passo 5

Agora, o lado direito:
Integramos em relação a e em relação a , onde é outra constante de integração.

Passo 6

Juntando os resultados das integrais, temos:
Podemos combinar as constantes e em uma única constante :

Resposta

A solução implícita da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

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Classifique (V) ou (F), justificando as suas respostas: ( ) Se tem raio de convergência , então as séries também têm raio de convergência .
Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
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