Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você pediu para determinar o intervalo e o raio de convergência da série de potências . A matéria envolvida aqui é séries de potências e, mais especificamente, vamos usar o Teste da Razão para encontrar onde essa série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a encontrar o raio de convergência de uma série de potências. A ideia é analisar o limite da razão entre termos consecutivos da série conforme tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge.
Passo 3
Vamos aplicar o teste à nossa série. Seja . Queremos calcular:
Primeiro, vamos encontrar :
Agora, a razão :
Simplificando:
Tomando o módulo:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Como , que é menor que 1, isso significa que a série converge para todo valor de . Portanto, o intervalo de convergência é todo o conjunto dos números reais, e o raio de convergência é infinito.
Resposta
O raio de convergência é infinito e o intervalo de convergência é (todos os números reais).