Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir: sumn=0^+infty(-1)^n+1 (n+1) x^nn!

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você pediu para determinar o intervalo e o raio de convergência da série de potências . A matéria envolvida aqui é séries de potências e, mais especificamente, vamos usar o Teste da Razão para encontrar onde essa série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a encontrar o raio de convergência de uma série de potências. A ideia é analisar o limite da razão entre termos consecutivos da série conforme tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge.

Passo 3

Vamos aplicar o teste à nossa série. Seja L = limn to infty | an+1an | . Queremos calcular:
an+1 = (-1)^(n+1)+1 (n+2) x^n+1(n+1)! = (-1)^n+2 (n+2) x^n+1(n+1)!
Primeiro, vamos encontrar an+1an = (-1)^n+2 (n+2) x^n+1(n+1)!(-1)^n+1 (n+1) x^nn! = (-1) cdot (n+2) x^n+1 cdot n!(n+1)! cdot (n+1) x^n :
an+1an = (-1) cdot (n+2) x(n+1)^2
Agora, a razão | an+1an | = (n+2) |x|(n+1)^2 :
Simplificando:
Tomando o módulo:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty (n+2) |x|(n+1)^2 = limn to infty n (1 + 2n) |x|n^2 (1 + 1n)^2 = limn to infty |x| (1 + 2n)n (1 + 1n)^2 = 0 tende ao infinito:
Como , que é menor que 1, isso significa que a série converge para todo valor de . Portanto, o intervalo de convergência é todo o conjunto dos números reais, e o raio de convergência é infinito.

Resposta

O raio de convergência é infinito e o intervalo de convergência é (todos os números reais).

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