Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você pediu para determinar o intervalo e o raio de convergência da série de potências . A matéria envolvida aqui é séries de potências e, mais especificamente, vamos usar o Teste da Razão para encontrar onde essa série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a encontrar o raio de convergência de uma série de potências. A ideia é analisar o limite da razão entre termos consecutivos da série conforme tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge.

Passo 3

Vamos aplicar o teste à nossa série. Seja . Queremos calcular:
Primeiro, vamos encontrar :
Agora, a razão :
Simplificando:
Tomando o módulo:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Como , que é menor que 1, isso significa que a série converge para todo valor de . Portanto, o intervalo de convergência é todo o conjunto dos números reais, e o raio de convergência é infinito.

Resposta

O raio de convergência é infinito e o intervalo de convergência é (todos os números reais).

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Classifique (V) ou (F), justificando as suas respostas: ( ) Se tem raio de convergência , então as séries também têm raio de convergência .
Resolva as seguintes equações, explicitando a solução (quando possível):