Classifique em verdadeira ou falsa cada afirmação a seguir, justificando sua resposta.
b) Se
e
são vetores ortonormais, então o volume do paralelepípedo gerado por estes é 1 .
b) Se
Passo 1
Beleza, vamos resumir a questão: precisamos dizer se a afirmação “Se
,
e
são vetores ortonormais, então o volume do paralelepípedo gerado por eles é 1” é verdadeira ou falsa. O conteúdo aqui envolve vetores ortonormais e cálculo de volume de paralelepípedo. Para resolver, vamos precisar entender o que são vetores ortonormais e como calcular o volume usando o produto misto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa vetores serem ortonormais. Vetores ortonormais são aqueles que são todos perpendiculares entre si (ortogonais) e cada um deles tem comprimento igual a 1 (normalizados).
Passo 3
Agora, para calcular o volume do paralelepípedo formado por três vetores, usamos o produto misto. A fórmula para o volume é
. Esse valor dá o tamanho do volume e sempre será positivo.
Passo 4
Como
,
e
são vetores ortonormais, o produto vetorial
resulta em um vetor que também é ortogonal a
e tem comprimento 1. Então, o produto escalar
será igual a 1, já que estamos multiplicando vetores unitários e perpendiculares.
Resposta
Verdadeira. O volume do paralelepípedo gerado por vetores ortonormais é 1.