Mostre que, se
é ortogonal a
, então
é ortogonal a todos os múltiplos de
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que, se o vetor
é ortogonal ao vetor
, então
é ortogonal a todos os múltiplos de
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente a definição de ortogonalidade entre vetores e as propriedades do produto escalar (ou produto interno).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem ortogonais. Dois vetores
e
são ortogonais se o produto escalar entre eles for igual a zero, ou seja:
Passo 3
Agora, vamos considerar um múltiplo do vetor
. Seja
um número real qualquer, então o múltiplo de
é dado por
.
Passo 4
Queremos mostrar que
é ortogonal a
. Ou seja, precisamos mostrar que o produto escalar entre
e
é zero:
Passo 5
Vamos usar a propriedade do produto escalar que diz que o produto escalar de um vetor com um múltiplo escalar de outro vetor é igual ao múltiplo escalar vezes o produto escalar dos vetores. Matematicamente:
Passo 6
Sabemos, pelo enunciado, que
é ortogonal a
, ou seja,
. Substituindo na equação anterior:
Resposta
Assim, mostramos que
, ou seja,
é ortogonal a todos os múltiplos de
.