Mostre que, se u é ortogonal a v, então u é ortogonal a todos os múltiplos de v.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que, se o vetor u é ortogonal ao vetor v, então u é ortogonal a todos os múltiplos de v. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente a definição de ortogonalidade entre vetores e as propriedades do produto escalar (ou produto interno).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem ortogonais. Dois vetores u e v são ortogonais se o produto escalar entre eles for igual a zero, ou seja:
u cdot v = 0

Passo 3

Agora, vamos considerar um múltiplo do vetor v. Seja lambda um número real qualquer, então o múltiplo de v é dado por lambda v.

Passo 4

Queremos mostrar que u é ortogonal a lambda v. Ou seja, precisamos mostrar que o produto escalar entre u e lambda v é zero:
u cdot (lambda v) = 0

Passo 5

Vamos usar a propriedade do produto escalar que diz que o produto escalar de um vetor com um múltiplo escalar de outro vetor é igual ao múltiplo escalar vezes o produto escalar dos vetores. Matematicamente:
u cdot (lambda v) = lambda (u cdot v)

Passo 6

Sabemos, pelo enunciado, que u é ortogonal a v, ou seja, u cdot v = 0. Substituindo na equação anterior:
lambda (u cdot v) = lambda times 0 = 0

Resposta

Assim, mostramos que u cdot (lambda v) = 0, ou seja, u é ortogonal a todos os múltiplos de v.

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