Construa uma bijeção do intervalo (0,1) na reta (-infty,+infty).

Passo 1

Então, a gente tem uma questão que pede para criar uma bijeção entre o intervalo aberto (0,1) e toda a reta real (-infty, +infty). Basicamente, uma bijeção é uma função que emparelha cada número de (0,1) com um único número na reta real, sem deixar nenhum número de fora. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções logarítmicas e funções que transformam intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em como transformar o intervalo (0,1) para (0, +infty). Uma forma simples de fazer isso é usando a fração x1 - x.
Por exemplo:
  • Se x está perto de 0, x1 - x também estará perto de 0.
  • Se x está perto de 1, x1 - x tende ao infinito.
Então, temos uma função que mapeia (0,1) para (0, +infty):
f(x) = x1 - x

Passo 3

Agora, queremos estender isso para cobrir toda a reta real (-infty, +infty). Para isso, usamos o logaritmo natural. A função logaritmo natural, ln, tem a propriedade de transformar (0, +infty) em (-infty, +infty). Ou seja:
g(y) = ln(y)
Assim, combinando as duas funções, temos:
g(f(x)) = ln(x1 - x)

Passo 4

Vamos verificar se essa função é realmente uma bijeção:
  1. Injetora (um para um): Cada valor de x em (0,1) gera um único valor de f(x) e, consequentemente, um único valor de g(f(x)). Não há dois valores diferentes de x que resultem no mesmo valor de g(f(x)).
  2. Sobrejetora (cobre todo o conjunto alvo): Para qualquer número real r, podemos encontrar um x em (0,1) tal que g(f(x)) = r. Isso porque o logaritmo natural cobre toda a reta real e a fração x1 - x cobre (0, +infty).

Resposta

A bijeção que mapeia o intervalo (0,1) para a reta (-infty, +infty) é dada por:
f(x) = ln(x1 - x)

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