Construa uma bijeção do intervalo
na reta
.
Passo 1
Então, a gente tem uma questão que pede para criar uma bijeção entre o intervalo aberto
e toda a reta real
. Basicamente, uma bijeção é uma função que emparelha cada número de
com um único número na reta real, sem deixar nenhum número de fora. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções logarítmicas e funções que transformam intervalos.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar em como transformar o intervalo
para
. Uma forma simples de fazer isso é usando a fração
.
Por exemplo:
- Se
está perto de , também estará perto de . - Se
está perto de , tende ao infinito.
Então, temos uma função que mapeia
para
:
Passo 3
Agora, queremos estender isso para cobrir toda a reta real
. Para isso, usamos o logaritmo natural. A função logaritmo natural,
, tem a propriedade de transformar
em
. Ou seja:
Assim, combinando as duas funções, temos:
Passo 4
Vamos verificar se essa função é realmente uma bijeção:
-
Injetora (um para um): Cada valor de
em gera um único valor de e, consequentemente, um único valor de . Não há dois valores diferentes de que resultem no mesmo valor de . -
Sobrejetora (cobre todo o conjunto alvo): Para qualquer número real
, podemos encontrar um em tal que . Isso porque o logaritmo natural cobre toda a reta real e a fração cobre .
Resposta
A bijeção que mapeia o intervalo
para a reta
é dada por: