Dados os vetores u=2 imath+x jmath+k, v=(3-x) imath-5 jmath+2 y k e w=2 imath+x jmath+2 k. Determine x, y in R de modo que
a) u+v e w-u sejam ortogonais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem três vetores:
u = 2 imath + x jmath + k, v = (3 - x) imath - 5 jmath + 2y k, w = 2 imath + x jmath + 2 k
E precisa encontrar os valores de e que fazem com que e sejam vetores ortogonais. Vamos usar o conceito de produto escalar para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. O produto escalar de dois vetores a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3 e é dado por:

Passo 3

Vamos calcular u + v = (2 + (3 - x)) imath + (x - 5) jmath + (1 + 2y) k = (5 - x) imath + (x - 5) jmath + (1 + 2y) k e w - u = (2 - 2) imath + (x - x) jmath + (2 - 1) k = 0 imath + 0 jmath + 1 k = k .

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar (u + v) cdot (w - u) = (5 - x)(0) + (x - 5)(0) + (1 + 2y)(1) = 0 + 0 + (1 + 2y) = 1 + 2y e igualar a zero para garantir a ortogonalidade.
1 + 2y = 0 Rightarrow 2y = -1 Rightarrow y = -12
Para que seja ortogonal:

Passo 5

Observamos que o valor de não apareceu na equação final, o que significa que pode ser qualquer número real. Ou seja, a condição de ortogonalidade depende apenas de .

Resposta

Para que x in R, y = -12 e sejam vetores ortogonais, deve ser e pode ser qualquer número real.

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