Dado o vetor v=(-2,4,3), determine as coordenadas do vetor de módulo 4 que possui mesma direção de v e sentido contrário de v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o vetor v = (-2, 4, 3) e precisa achar as coordenadas de um novo vetor que tenha módulo 4, mesma direção que v, mas que aponte pra direção oposta. Vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como normalização de vetores e escalonamento.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a direção do vetor v. Para isso, precisamos normalizar v, ou seja, transformar v em um vetor unitário (de módulo 1). A fórmula para o módulo de um vetor v = (vx, vy, vz) é:
||v|| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2

Passo 3

Calculando o módulo de v:
||v|| = raiz(-2)^2 + 4^2 + 3^2 = raiz4 + 16 + 9 = raiz29
Então, o vetor unitário na direção de v é:
u = ( -2raiz29, 4raiz29, 3raiz29 )

Passo 4

Como queremos um vetor com módulo 4 e sentido contrário, vamos multiplicar o vetor unitário por 4 e inverter o sentido (multiplicar por -1):
w = -4 cdot u = ( 8raiz29, -16raiz29, -12raiz29 )

Resposta

As coordenadas do vetor desejado são ( dfrac8raiz29, dfrac-16raiz29, dfrac-12raiz29 ).

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