Dada a transformação linear T: R^3 R^2 definida por
T(x, y, z)=(x-y+z, x+3 y), determinar:
(a) o subespaço vetorial Ker(T), uma base, se existir, e a dimensão;
(b) o subespaço vetorial Im(T), uma base, se existir, e a dimensão.
© Se v=(6,-2,8) in Ker(T) e se w=(3,2) in Im(T), justificando sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformação linear juntos! A gente vai trabalhar com uma transformação T(x, y, z) = (x - y + z, , x + 3y) definida por:
O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o núcleo ( ) e a imagem ( ) dessa transformação, além de bases e dimensões para cada um. Também vamos verificar se certos vetores estão no núcleo ou na imagem.

Passo 2

Vamos começar encontrando o núcleo de T(x, y, z) = (0, 0) . O núcleo é o conjunto de todos os vetores x - y + z = 0 x + 3y = 0 em que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja, queremos resolver:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema. Da segunda equação, podemos expressar x = -3y em termos de -3y - y + z = 0 implies -4y + z = 0 implies z = 4y :
(x, y, z) = (-3y, , y, , 4y) = y cdot (-3, , 1, , 4)
Agora, substituímos na primeira equação:
Então, todos os vetores do núcleo têm a forma:
Isso significa que o núcleo é gerado pelo vetor .

Passo 4

Agora, identificamos que o núcleo é um subespaço vetorial gerado por um único vetor não nulo. Portanto, uma base para o núcleo é:
, (-3, , 1, , 4) ,
E a dimensão do núcleo é 1, já que há apenas um vetor na base.

Passo 5

Vamos agora encontrar a imagem de T(x, y, z) = (x - y + z, , x + 3y) , que é o conjunto de todos os vetores em A = 1 & -1 & 1 1 & 3 & 0 que podem ser obtidos aplicando a algum vetor em . Para isso, observamos as componentes da transformação:
Podemos expressar isso como uma combinação linear das variáveis . Para encontrar uma base para a imagem, analisamos as colunas da matriz associada a :
Vamos verificar o posto dessa matriz, que nos dá a dimensão da imagem.

Passo 6

Aplicando operações elementares, subtraímos a primeira linha da segunda para simplificar:
1 & -1 & 1 0 & 4 & -1
As duas linhas são não nulas e linearmente independentes, então o posto de , (1, 1), , (-1, 3) , é 2. Portanto, a imagem de é um subespaço de de dimensão 2. Isso significa que a imagem é todo .
Uma base para a imagem pode ser obtida pelas colunas da matriz que são linearmente independentes. Por exemplo:

Passo 7

Finalmente, vamos verificar se os vetores dados pertencem ao núcleo ou à imagem.
Para T(6, -2, 8) = (6 - (-2) + 8, , 6 + 3(-2)) = (6 + 2 + 8, , 6 - 6) = (16, 0) , verificamos se :
Como , não está no núcleo de .
Para , como a imagem de é todo , está na imagem de .

Resposta

(a) é o conjunto , uma base com dimensão 1.
(b) é todo , com a base e dimensão 2.
© não está em e está em .

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