Dada a transformação linear
definida por
(a) o subespaço vetorial
, uma base, se existir, e a dimensão;
(b) o subespaço vetorial
, uma base, se existir, e a dimensão.
© Se
e se
, justificando sua resposta.
(b) o subespaço vetorial
© Se
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformação linear juntos! A gente vai trabalhar com uma transformação
definida por:
O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o núcleo (
) e a imagem (
) dessa transformação, além de bases e dimensões para cada um. Também vamos verificar se certos vetores estão no núcleo ou na imagem.
Passo 2
Vamos começar encontrando o núcleo de
. O núcleo é o conjunto de todos os vetores
em
que são mapeados para o vetor zero em
. Ou seja, queremos resolver:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema. Da segunda equação, podemos expressar
em termos de
:
Agora, substituímos
na primeira equação:
Então, todos os vetores do núcleo têm a forma:
Isso significa que o núcleo é gerado pelo vetor
.
Passo 4
Agora, identificamos que o núcleo é um subespaço vetorial gerado por um único vetor não nulo. Portanto, uma base para o núcleo é:
E a dimensão do núcleo é 1, já que há apenas um vetor na base.
Passo 5
Vamos agora encontrar a imagem de
, que é o conjunto de todos os vetores em
que podem ser obtidos aplicando
a algum vetor em
. Para isso, observamos as componentes da transformação:
Podemos expressar isso como uma combinação linear das variáveis
. Para encontrar uma base para a imagem, analisamos as colunas da matriz associada a
:
Vamos verificar o posto dessa matriz, que nos dá a dimensão da imagem.
Passo 6
Aplicando operações elementares, subtraímos a primeira linha da segunda para simplificar:
As duas linhas são não nulas e linearmente independentes, então o posto de
é 2. Portanto, a imagem de
é um subespaço de
de dimensão 2. Isso significa que a imagem é todo
.
Uma base para a imagem pode ser obtida pelas colunas da matriz que são linearmente independentes. Por exemplo:
Passo 7
Finalmente, vamos verificar se os vetores dados pertencem ao núcleo ou à imagem.
Para
, verificamos se
:
Como
,
não está no núcleo de
.
Para
, como a imagem de
é todo
,
está na imagem de
.
Resposta
(a)
é o conjunto
, uma base com dimensão 1.
(b)
é todo
, com a base
e dimensão 2.
©
não está em
e
está em
.