Classifique em verdadeira ou falsa cada afirmação a seguir, justificando sua resposta.
b) Três vetores ortogonais entre si (ou seja, dois a dois ortogonais) formam uma base.
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para a gente dizer se a afirmação “Três vetores ortogonais entre si (ou seja, dois a dois ortogonais) formam uma base” é verdadeira ou falsa. Estamos falando de álgebra linear, especificamente sobre vetores ortogonais e bases. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que significa vetores serem ortogonais e como eles se relacionam com a formação de uma base.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são vetores ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto interno (ou produto escalar) deles for zero. Em termos matemáticos, para dois vetores e , isso significa:
Isso basicamente indica que os vetores são perpendiculares entre si.
Passo 3
Agora, uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Ou seja, qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores da base.
Passo 4
Quando temos vetores ortogonais entre si, eles são automaticamente linearmente independentes. Isso acontece porque não dá para escrever um desses vetores como combinação dos outros se eles não apontam na mesma direção.
Passo 5
No espaço , precisamos de três vetores linearmente independentes para formar uma base. Como já vimos que três vetores ortogonais são linearmente independentes, eles satisfazem os requisitos para formar uma base nesse espaço.