Determinar a equação geral do plano que contém o eixo OY e a reta .

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui? Queremos encontrar a equação geral de um plano que passa pelo eixo OY e também pela reta . A matéria envolvida é geometria analítica no espaço, especificamente sobre planos e retas. Para resolver isso, vamos precisar usar vetores diretores e entender como eles definem um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a reta . Ela está definida parametricamente por:
Aqui, é o parâmetro real. O vetor diretor da reta é .

Passo 3

Agora, como o plano também contém o eixo OY, que é a reta definida por:
onde é um parâmetro real. O vetor diretor do eixo OY é .

Passo 4

Para definir o plano, precisamos de um vetor normal que seja perpendicular a ambos os vetores diretores e . Podemos encontrar calculando o produto vetorial de e :

Passo 5

Com o vetor normal , podemos usar a equação geral do plano:
para encontrar o valor de . Como o plano contém o eixo OY, vamos usar um ponto desse eixo para determinar . Um ponto no eixo OY é .

Passo 6

Substituindo o ponto na equação do plano:
Portanto, a equação do plano é:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:

Resposta

A equação geral do plano é .

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Seja um triângulo de área , onde e . Sabendo que pertence ao eixo , determine as coordenadas de .
Dados os vetores e , calcule de modo que a área do paralelogramo determinado por e seja .
Classifique em verdadeira ou falsa cada afirmação a seguir, justificando sua resposta.
b) Três vetores ortogonais entre si (ou seja, dois a dois ortogonais) formam uma base.
Sejam
uma lista de vetores em . Quais dos vetores
são combinações lineares dos vetores da lista ?