Determinar a equação geral do plano que contém o eixo OY e a reta r.
r:l x=1-2 t y=-3+6 t z=2-4 t , t in R

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui? Queremos encontrar a equação geral de um plano que passa pelo eixo OY e também pela reta . A matéria envolvida é geometria analítica no espaço, especificamente sobre planos e retas. Para resolver isso, vamos precisar usar vetores diretores e entender como eles definem um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a reta r: x = 1 - 2t y = -3 + 6t z = 2 - 4t . Ela está definida parametricamente por:
Aqui, é o parâmetro real. O vetor diretor da reta é .

Passo 3

Agora, como o plano também contém o eixo OY, que é a reta definida por:
OY: x = 0 y = s z = 0
onde é um parâmetro real. O vetor diretor do eixo OY é .

Passo 4

Para definir o plano, precisamos de um vetor normal n = v times u = i & j & k -2 & 6 & -4 0 & 1 & 0 = (6 cdot 0 - (-4) cdot 1)i - (-2 cdot 0 - (-4) cdot 0)j + (-2 cdot 1 - 6 cdot 0)k que seja perpendicular a ambos os vetores diretores n = (0 + 4)i - (0 - 0)j + (-2 - 0)k = (4, 0, -2) e . Podemos encontrar calculando o produto vetorial de e :

Passo 5

Com o vetor normal 4x + 0y - 2z + D = 0 , podemos usar a equação geral do plano:
para encontrar o valor de . Como o plano contém o eixo OY, vamos usar um ponto desse eixo para determinar . Um ponto no eixo OY é .

Passo 6

Substituindo o ponto 4(0) + 0(0) - 2(0) + D = 0 Rightarrow D = 0 na equação do plano:
4x - 2z = 0
Portanto, a equação do plano é:
2x - z = 0
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:

Resposta

A equação geral do plano é .

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