Sejam
uma lista de vetores em . Quais dos vetores
são combinações lineares dos vetores da lista ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me mandou está na área de Álgebra Linear, especificamente tratando de combinações lineares de matrizes. A gente tem uma lista de três matrizes e queremos saber se cada uma das matrizes , e pode ser escrita como uma combinação dessas três. Para resolver isso, vamos precisar montar e resolver sistemas de equações que relacionam as entradas das matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma combinação linear. Basicamente, dizer que uma matriz, por exemplo, , é uma combinação linear das matrizes , e quer dizer que existe uma combinação dos coeficientes , e tais que:
Expandindo isso, teremos um sistema de equações onde igualamos cada entrada da matriz à combinação linear das matrizes da lista .

Passo 3

Vamos começar com a matriz . Queremos encontrar , e tais que:
Isso dá quatro equações:

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema. Primeiramente, da segunda equação:
Vamos substituir nas demais equações:
Na primeira equação:
Ou seja, .
Agora, na quarta equação:
Substituindo em :
E em :
Vamos verificar na terceira equação:

Passo 5

Com isso, encontramos que:
Então, a matriz pode sim ser escrita como:

Passo 6

Agora, vamos verificar a matriz . Repetimos o mesmo processo:
Queremos encontrar , , tais que:
Isso nos dá:

Passo 7

Resolvendo a segunda equação:
Substituindo nas demais equações:
Na primeira equação:
Na quarta equação:
Mas, da relação anterior , substituindo :
Agora,
Vamos verificar na terceira equação:
Isso mostra que não há solução consistente para esse sistema.

Passo 8

Portanto, a matriz não pode ser escrita como uma combinação linear das matrizes da lista .

Passo 9

Finalmente, vamos analisar a matriz . Seguindo o mesmo raciocínio:
Queremos:
Que nos dá:

Passo 10

Resolvendo a segunda equação:
Substituindo nas outras equações:
Na primeira equação:
Na quarta equação:
Substituindo na relação :
E então,
Vamos verificar na terceira equação:
Isso mostra que não há solução consistente para este sistema também.

Passo 11

Portanto, a matriz não pode ser escrita como uma combinação linear das matrizes da lista .

Resposta

A única matriz que é uma combinação linear dos vetores da lista é a matriz . As matrizes e não são combinações lineares dos vetores da lista.

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