Sejam
uma lista de vetores em
. Quais dos vetores
são combinações lineares dos vetores da lista
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me mandou está na área de Álgebra Linear, especificamente tratando de combinações lineares de matrizes. A gente tem uma lista de três matrizes
e queremos saber se cada uma das matrizes
,
e
pode ser escrita como uma combinação dessas três. Para resolver isso, vamos precisar montar e resolver sistemas de equações que relacionam as entradas das matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma combinação linear. Basicamente, dizer que uma matriz, por exemplo,
, é uma combinação linear das matrizes
,
e
quer dizer que existe uma combinação dos coeficientes
,
e
tais que:
Expandindo isso, teremos um sistema de equações onde igualamos cada entrada da matriz
à combinação linear das matrizes da lista
.
Passo 3
Vamos começar com a matriz
. Queremos encontrar
,
e
tais que:
Isso dá quatro equações:
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema. Primeiramente, da segunda equação:
Vamos substituir
nas demais equações:
Na primeira equação:
Ou seja,
.
Agora, na quarta equação:
Substituindo
em
:
E em
:
Vamos verificar na terceira equação:
Passo 5
Com isso, encontramos que:
Então, a matriz
pode sim ser escrita como:
Passo 6
Agora, vamos verificar a matriz
. Repetimos o mesmo processo:
Queremos encontrar
,
,
tais que:
Isso nos dá:
Passo 7
Resolvendo a segunda equação:
Substituindo
nas demais equações:
Na primeira equação:
Na quarta equação:
Mas, da relação anterior
, substituindo
:
Agora,
Vamos verificar na terceira equação:
Isso mostra que não há solução consistente para esse sistema.
Passo 8
Portanto, a matriz
não pode ser escrita como uma combinação linear das matrizes da lista
.
Passo 9
Finalmente, vamos analisar a matriz
. Seguindo o mesmo raciocínio:
Queremos:
Que nos dá:
Passo 10
Resolvendo a segunda equação:
Substituindo
nas outras equações:
Na primeira equação:
Na quarta equação:
Substituindo
na relação
:
E então,
Vamos verificar na terceira equação:
Isso mostra que não há solução consistente para este sistema também.
Passo 11
Portanto, a matriz
não pode ser escrita como uma combinação linear das matrizes da lista
.
Resposta
A única matriz que é uma combinação linear dos vetores da lista
é a matriz
. As matrizes
e
não são combinações lineares dos vetores da lista.