Sejam V=F^2 times 2 e
alpha=(A1=(rr 1 & 1 -2 & 1 ), A2=(rr 3 & 0 4 & -1 ), A3=(rr -1 & 2 5 & 2 ))
uma lista de vetores em V. Quais dos vetores
A=(ll 4 & -5 9 & -7 ), B=(rr 3 & 1 -4 & 4 ) e C=(ll -1 & 1 -2 & 1 )
são combinações lineares dos vetores da lista alpha ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me mandou está na área de Álgebra Linear, especificamente tratando de combinações lineares de matrizes. A gente tem uma lista de três matrizes e queremos saber se cada uma das matrizes , e pode ser escrita como uma combinação dessas três. Para resolver isso, vamos precisar montar e resolver sistemas de equações que relacionam as entradas das matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma combinação linear. Basicamente, dizer que uma matriz, por exemplo, A = c1 A1 + c2 A2 + c3 A3 , é uma combinação linear das matrizes , e quer dizer que existe uma combinação dos coeficientes , e tais que:
Expandindo isso, teremos um sistema de equações onde igualamos cada entrada da matriz à combinação linear das matrizes da lista .

Passo 3

Vamos começar com a matriz 4 & -5 9 & -7 . Queremos encontrar 4 & -5 9 & -7 = c1 1 & 1 -2 & 1 + c2 3 & 0 4 & -1 + c3 -1 & 2 5 & 2 , e tais que:
Isso dá quatro equações:

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema. Primeiramente, da segunda equação:
-5 = c1 + 0 cdot c2 + 2c3 Rightarrow c1 + 2c3 = -5 Rightarrow c1 = -5 - 2c3
Vamos substituir 4 = (-5 - 2c3) + 3c2 - c3 Rightarrow 4 = -5 + 3c2 - 3c3 Rightarrow 9 = 3c2 - 3c3 Rightarrow 3 = c2 - c3 nas demais equações:
Na primeira equação:
-7 = (-5 - 2c3) + (-1)(3 + c3) + 2c3 Rightarrow -7 = -5 - 2c3 -3 - c3 + 2c3 Rightarrow -7 = -8 - c3 Rightarrow c3 = -8 + 7 = -1
Ou seja, c2 = 3 + (-1) = 2 .
Agora, na quarta equação:
c1 = -5 - 2(-1) = -5 + 2 = -3
Substituindo 9 = (-3)(-2) + 4 cdot 2 + 5(-1) = 6 + 8 -5 = 9 checkmark em :
E em :
Vamos verificar na terceira equação:

Passo 5

Com isso, encontramos que:
c1 = -3, c2 = 2, c3 = -1
Então, a matriz A = -3A1 + 2A2 - A3 pode sim ser escrita como:

Passo 6

Agora, vamos verificar a matriz 3 & 1 -4 & 4 . Repetimos o mesmo processo:
Queremos encontrar 3 & 1 -4 & 4 = c1 1 & 1 -2 & 1 + c2 3 & 0 4 & -1 + c3 -1 & 2 5 & 2 , , tais que:
Isso nos dá:

Passo 7

Resolvendo a segunda equação:
1 = c1 + 2c3 Rightarrow c1 = 1 - 2c3
Substituindo 3 = (1 - 2c3) + 3c2 - c3 Rightarrow 3 = 1 + 3c2 -3c3 Rightarrow 2 = 3c2 -3c3 Rightarrow c2 - c3 = 23 nas demais equações:
Na primeira equação:
4 = (1 - 2c3) - c2 + 2c3 Rightarrow 4 = 1 - c2 Rightarrow c2 = -3
Na quarta equação:
-3 - c3 = 23 Rightarrow -c3 = 23 +3 = 113 Rightarrow c3 = -113
Mas, da relação anterior -4 = -2(253) + 4(-3) +5(-113) = -503 -12 -553 = -50 + 36 + 553 = -1413 = -47 neq -4 , substituindo :
Agora,
Vamos verificar na terceira equação:
Isso mostra que não há solução consistente para esse sistema.

Passo 8

Portanto, a matriz não pode ser escrita como uma combinação linear das matrizes da lista .

Passo 9

Finalmente, vamos analisar a matriz -1 & 1 -2 & 1 . Seguindo o mesmo raciocínio:
Queremos:
-1 & 1 -2 & 1 = c1 1 & 1 -2 & 1 + c2 3 & 0 4 & -1 + c3 -1 & 2 5 & 2
Que nos dá:

Passo 10

Resolvendo a segunda equação:
1 = c1 + 2c3 Rightarrow c1 = 1 - 2c3
Substituindo -1 = (1 - 2c3) + 3c2 - c3 Rightarrow -1 = 1 + 3c2 -3c3 Rightarrow -2 = 3c2 -3c3 Rightarrow c2 - c3 = -23 nas outras equações:
Na primeira equação:
1 = (1 - 2c3) - c2 + 2c3 Rightarrow 1 = 1 - c2 Rightarrow c2 = 0
Na quarta equação:
0 - c3 = -23 Rightarrow c3 = 23
Substituindo -2 = -2(-13) +4(0) +5(23) = 23 +0 + 103 = 123 = 4 neq -2 na relação :
E então,
Vamos verificar na terceira equação:
Isso mostra que não há solução consistente para este sistema também.

Passo 11

Portanto, a matriz não pode ser escrita como uma combinação linear das matrizes da lista .

Resposta

A única matriz que é uma combinação linear dos vetores da lista é a matriz . As matrizes e não são combinações lineares dos vetores da lista.

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