Seja A B C um triângulo de área raiz6, onde A=(2,1,0) e B=(-1,2,1). Sabendo que C pertence ao eixo y, determine as coordenadas de C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um triângulo com área igual a . Sabemos as coordenadas dos pontos e . O ponto está no eixo , então sua coordenada será algo como . Nosso objetivo aqui é encontrar a coordenada de .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetor e geometria no espaço tridimensional, especialmente o cálculo da área de um triângulo usando o produto vetorial. Vamos precisar de algumas fórmulas de álgebra vetorial para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que para encontrar a área de um triângulo no espaço, podemos usar o produto vetorial dos vetores que formam dois lados do triângulo. A área S = 12 | AB times AC | do triângulo é dada por:
Aqui, é o vetor que vai de para , e é o vetor que vai de para . O símbolo representa o produto vetorial, e representa a norma do vetor, ou seja, seu comprimento.

Passo 3

Vamos calcular os vetores AB = B - A = (-1 - 2, 2 - 1, 1 - 0) = (-3, 1, 1) e AC = C - A = (0 - 2, y - 1, 0 - 0) = (-2, y - 1, 0) . Primeiro, subtraímos as coordenadas de das coordenadas de :
Como está no eixo , suas coordenadas são . Então, calculamos :

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial u times v = ( u2v3 - u3v2, u3v1 - u1v3, u1v2 - u2v1 ) . A fórmula para o produto vetorial de dois vetores AB times AC = ( (1)(0) - (1)(y - 1), (1)(-2) - (-3)(0), (-3)(y - 1) - (1)(-2) ) e AB times AC = ( 0 - (y - 1), -2 - 0, -3(y - 1) + 2 ) = ( -(y - 1), -2, -3y + 3 + 2 ) é:
AB times AC = ( - y + 1, -2, -3y + 5 )
Aplicando isso aos nossos vetores:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a norma desse vetor resultante. A norma de um vetor | w | = raizw1^2 + w2^2 + w3^2 é dada por:
| AB times AC | = raiz(-y + 1)^2 + (-2)^2 + (-3y + 5)^2
Aplicando isso ao nosso produto vetorial:
(-y + 1)^2 = y^2 - 2y + 1
Vamos expandir os termos:
(-2)^2 = 4
(-3y + 5)^2 = 9y^2 - 30y + 25
| AB times AC | = raizy^2 - 2y + 1 + 4 + 9y^2 - 30y + 25 = raiz10y^2 - 32y + 30
Somando tudo:

Passo 6

Sabemos que a área do triângulo é 12 raiz10y^2 - 32y + 30 = raiz6 , então podemos igualar a expressão da área:
raiz10y^2 - 32y + 30 = 2raiz6
Vamos multiplicar ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
10y^2 - 32y + 30 = (2raiz6)^2 = 4 times 6 = 24
Agora, vamos eliminar a raiz quadrada ao quadrar ambos os lados:

Passo 7

Agora, temos uma equação quadrática:
10y^2 - 32y + 30 = 24
Vamos subtrair 24 de ambos os lados:
10y^2 - 32y + 6 = 0
Podemos simplificar dividindo toda a equação por 2:
5y^2 - 16y + 3 = 0

Passo 8

Agora, vamos resolver a equação quadrática y = -b pm raizb^2 - 4ac2a usando a fórmula de Bhaskara:
De
Onde y = 16 pm raiz19610 = 16 pm 1410 , y1 = 16 + 1410 = 3010 = 3 e y2 = 16 - 1410 = 210 = 0,2 .
Calculando o discriminante:
Como , que é positivo, temos duas soluções reais:
Então:

Resposta

As coordenadas de que satisfazem a condição são e .

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