Seja um triângulo de área , onde e . Sabendo que pertence ao eixo , determine as coordenadas de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um triângulo com área igual a . Sabemos as coordenadas dos pontos e . O ponto está no eixo , então sua coordenada será algo como . Nosso objetivo aqui é encontrar a coordenada de .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetor e geometria no espaço tridimensional, especialmente o cálculo da área de um triângulo usando o produto vetorial. Vamos precisar de algumas fórmulas de álgebra vetorial para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que para encontrar a área de um triângulo no espaço, podemos usar o produto vetorial dos vetores que formam dois lados do triângulo. A área do triângulo é dada por:
Aqui, é o vetor que vai de para , e é o vetor que vai de para . O símbolo representa o produto vetorial, e representa a norma do vetor, ou seja, seu comprimento.

Passo 3

Vamos calcular os vetores e . Primeiro, subtraímos as coordenadas de das coordenadas de :
Como está no eixo , suas coordenadas são . Então, calculamos :

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial . A fórmula para o produto vetorial de dois vetores e é:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a norma desse vetor resultante. A norma de um vetor é dada por:
Aplicando isso ao nosso produto vetorial:
Vamos expandir os termos:
Somando tudo:

Passo 6

Sabemos que a área do triângulo é , então podemos igualar a expressão da área:
Vamos multiplicar ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
Agora, vamos eliminar a raiz quadrada ao quadrar ambos os lados:

Passo 7

Agora, temos uma equação quadrática:
Vamos subtrair 24 de ambos os lados:
Podemos simplificar dividindo toda a equação por 2:

Passo 8

Agora, vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e .
Calculando o discriminante:
Como , que é positivo, temos duas soluções reais:
Então:

Resposta

As coordenadas de que satisfazem a condição são e .

Exercícios relacionados

Dados os vetores e , calcule de modo que a área do paralelogramo determinado por e seja .
Verifique que os vetores
formam uma base. Esta base é ortogonal ou ortonormal? Determine as coordenadas do vetor na base
Determinar a equação geral do plano que contém o eixo OY e a reta .
Classifique em verdadeira ou falsa cada afirmação a seguir, justificando sua resposta.
b) Três vetores ortogonais entre si (ou seja, dois a dois ortogonais) formam uma base.