Seja
um triângulo de área
, onde
e
. Sabendo que
pertence ao eixo
, determine as coordenadas de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um triângulo
com área igual a
. Sabemos as coordenadas dos pontos
e
. O ponto
está no eixo
, então sua coordenada será algo como
. Nosso objetivo aqui é encontrar a coordenada
de
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetor e geometria no espaço tridimensional, especialmente o cálculo da área de um triângulo usando o produto vetorial. Vamos precisar de algumas fórmulas de álgebra vetorial para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que para encontrar a área de um triângulo no espaço, podemos usar o produto vetorial dos vetores que formam dois lados do triângulo. A área
do triângulo é dada por:
Aqui,
é o vetor que vai de
para
, e
é o vetor que vai de
para
. O símbolo
representa o produto vetorial, e
representa a norma do vetor, ou seja, seu comprimento.
Passo 3
Vamos calcular os vetores
e
. Primeiro, subtraímos as coordenadas de
das coordenadas de
:
Como
está no eixo
, suas coordenadas são
. Então, calculamos
:
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto vetorial
. A fórmula para o produto vetorial de dois vetores
e
é:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a norma desse vetor resultante. A norma de um vetor
é dada por:
Aplicando isso ao nosso produto vetorial:
Vamos expandir os termos:
Somando tudo:
Passo 6
Sabemos que a área do triângulo é
, então podemos igualar a expressão da área:
Vamos multiplicar ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
Agora, vamos eliminar a raiz quadrada ao quadrar ambos os lados:
Passo 7
Agora, temos uma equação quadrática:
Vamos subtrair 24 de ambos os lados:
Podemos simplificar dividindo toda a equação por 2:
Passo 8
Agora, vamos resolver a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
.
Calculando o discriminante:
Como
, que é positivo, temos duas soluções reais:
Então:
Resposta
As coordenadas de
que satisfazem a condição são
e
.
Exercícios relacionados
Dados os vetores
e
, calcule
de modo que a área do paralelogramo determinado por
e
seja
.
Verifique que os vetores
formam uma base. Esta base é ortogonal ou ortonormal? Determine as coordenadas do vetor
na base
Determinar a equação geral do plano que contém o eixo OY e a reta
.
Classifique em verdadeira ou falsa cada afirmação a seguir, justificando sua resposta.
b) Três vetores ortogonais entre si (ou seja, dois a dois ortogonais) formam uma base.
b) Três vetores ortogonais entre si (ou seja, dois a dois ortogonais) formam uma base.