Identifique o tipo de seção cônica e encontre os principais elementos de cada uma delas (vértices, assíntotas, focos, centros). Faça o esboço de cada uma.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação
e precisamos identificar o tipo de seção cônica que ela representa. Além disso, devemos encontrar os principais elementos dessa seção, como vértices, assíntotas, focos e centros, e fazer um esboço de cada uma.
Aqui, vamos trabalhar com seções cônicas, que são curvas resultantes da interseção de um plano com um cone. As principais seções cônicas são: círculo, elipse, parábola e hipérbole. Para identificar qual delas estamos lidando, vamos reorganizar a equação e colocá-la em uma forma padrão.
Passo 2
Vamos começar reorganizando a equação dada para facilitar a identificação da seção cônica.
A equação é:
Primeiro, vamos completar o quadrado no lado esquerdo para simplificar a expressão em
.
Passo 3
Para completar o quadrado em
, seguimos estes passos:
- Pegamos o coeficiente de
, que é , e dividimos por 2: . - Elevamos ao quadrado:
. - Adicionamos e subtraímos este valor na equação para manter a igualdade:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos isolar o termo quadrático:
Podemos reescrever isso como:
Essa é a forma padrão de uma parábola que abre para o lado direito.
Passo 5
Identificamos que a equação representa uma parábola. Agora, vamos encontrar os principais elementos dessa parábola:
- Vértice: O ponto
na forma padrão . Aqui, e , então o vértice é . - Foco: O foco está a uma distância
do vértice na direção para onde a parábola abre. Na nossa equação, , então . Como a parábola abre para a direita, o foco está em . - Diretriz: Uma linha paralela à direção oposta do foco, a uma distância
do vértice. A equação da diretriz é . - Eixo de simetria: Uma linha vertical que passa pelo vértice, que no caso é
.
Passo 6
Agora, vamos fazer um esboço da parábola com os elementos encontrados:
- Desenhe o sistema de coordenadas.
- Marque o vértice em
. - Desenhe o foco em
. - Trace a diretriz em
. - Desenhe o eixo de simetria na linha
. - Esboce a parábola abrindo para a direita, passando pelo vértice e aproximando-se da diretriz.
Resposta
A equação
representa uma parábola que abre para a direita. Os principais elementos são:
- Vértice:
- Foco:
- Diretriz:
- Eixo de simetria:
O esboço da parábola deve incluir esses elementos, mostrando a abertura para a direita.