Identifique o tipo de seção cônica e encontre os principais elementos de cada uma delas (vértices, assíntotas, focos, centros). Faça o esboço de cada uma. y^2-8 y=9 x-16

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação e precisamos identificar o tipo de seção cônica que ela representa. Além disso, devemos encontrar os principais elementos dessa seção, como vértices, assíntotas, focos e centros, e fazer um esboço de cada uma.
Aqui, vamos trabalhar com seções cônicas, que são curvas resultantes da interseção de um plano com um cone. As principais seções cônicas são: círculo, elipse, parábola e hipérbole. Para identificar qual delas estamos lidando, vamos reorganizar a equação e colocá-la em uma forma padrão.

Passo 2

Vamos começar reorganizando a equação dada para facilitar a identificação da seção cônica.
A equação é:
y^2 - 8y = 9x - 16
Primeiro, vamos completar o quadrado no lado esquerdo para simplificar a expressão em .

Passo 3

Para completar o quadrado em y^2 - 8y + 16 - 16 = 9x - 16 , seguimos estes passos:
  1. Pegamos o coeficiente de (y - 4)^2 - 16 = 9x - 16 , que é , e dividimos por 2: .
  2. Elevamos ao quadrado: .
  3. Adicionamos e subtraímos este valor na equação para manter a igualdade:
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos isolar o termo quadrático:
(y - 4)^2 = 9x
Podemos reescrever isso como:
(y - 4)^2 = 9(x - 0)
Essa é a forma padrão de uma parábola que abre para o lado direito.

Passo 5

Identificamos que a equação representa uma parábola. Agora, vamos encontrar os principais elementos dessa parábola:
  • Vértice: O ponto na forma padrão . Aqui, e , então o vértice é .
  • Foco: O foco está a uma distância do vértice na direção para onde a parábola abre. Na nossa equação, , então . Como a parábola abre para a direita, o foco está em .
  • Diretriz: Uma linha paralela à direção oposta do foco, a uma distância do vértice. A equação da diretriz é .
  • Eixo de simetria: Uma linha vertical que passa pelo vértice, que no caso é .

Passo 6

Agora, vamos fazer um esboço da parábola com os elementos encontrados:
  1. Desenhe o sistema de coordenadas.
  2. Marque o vértice em .
  3. Desenhe o foco em .
  4. Trace a diretriz em .
  5. Desenhe o eixo de simetria na linha .
  6. Esboce a parábola abrindo para a direita, passando pelo vértice e aproximando-se da diretriz.

Resposta

A equação representa uma parábola que abre para a direita. Os principais elementos são:
  • Vértice:
  • Foco:
  • Diretriz:
  • Eixo de simetria:
O esboço da parábola deve incluir esses elementos, mostrando a abertura para a direita.

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