Classifique em verdadeira ou falsa cada afirmação a seguir, justificando sua resposta.
a) Se
e
são ortogonais, então
.
a) Se
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: "Se
e
são ortogonais, então
". Aqui, estamos lidando com vetores ortogonais, que são aqueles que formam um ângulo de 90 graus entre si. Para resolver isso, precisamos entender como calcular o comprimento (ou norma) da soma de dois vetores e como a ortogonalidade deles influencia nesse cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para o quadrado da norma da soma de dois vetores:
O que significa? Bem, além dos quadrados das normas individuais, temos o termo
, que é duas vezes o produto interno (ou dot product) dos vetores.
Passo 3
Agora, como
e
são ortogonais, o produto interno deles é zero:
Isso acontece porque, por serem ortogonais, o cosseno do ângulo entre eles é zero, e o produto interno é calculado como
.
Passo 4
Substituindo esse valor na fórmula original, temos:
Isso mostra que, quando os vetores são ortogonais, o termo do produto interno desaparece, simplificando a expressão.
Resposta
A afirmação é verdadeira. Quando
e
são ortogonais, a norma da soma ao quadrado é igual à soma das normas ao quadrado:
.
Exercícios relacionados
Dados os vetores
e
, calcule: a área do paralelogramo determinado por
e
;
Dados o ponto
e o plano
:
.
Determinar o ângulo formado entre o plano e o eixo
.
Determinar o ângulo formado entre o plano
Sejam
e
uma lista de vetores
, com
. Quais dos vetores em
são combinações lineares dos vetores
e
?
Dados os vetores
e
, calcule: a altura do paralelogramo relativa à base determinada por
.