Classifique em verdadeira ou falsa cada afirmação a seguir, justificando sua resposta.
a) Se a e b são ortogonais, então |a+b|^2=|a|^2+|b|^2.

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: "Se e são ortogonais, então ". Aqui, estamos lidando com vetores ortogonais, que são aqueles que formam um ângulo de 90 graus entre si. Para resolver isso, precisamos entender como calcular o comprimento (ou norma) da soma de dois vetores e como a ortogonalidade deles influencia nesse cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para o quadrado da norma da soma de dois vetores:
|a + b|^2 = |a|^2 + 2,a cdot b + |b|^2
O que significa? Bem, além dos quadrados das normas individuais, temos o termo , que é duas vezes o produto interno (ou dot product) dos vetores.

Passo 3

Agora, como a cdot b = 0 e são ortogonais, o produto interno deles é zero:
Isso acontece porque, por serem ortogonais, o cosseno do ângulo entre eles é zero, e o produto interno é calculado como .

Passo 4

Substituindo esse valor na fórmula original, temos:
|a + b|^2 = |a|^2 + 2 times 0 + |b|^2 = |a|^2 + |b|^2
Isso mostra que, quando os vetores são ortogonais, o termo do produto interno desaparece, simplificando a expressão.

Resposta

A afirmação é verdadeira. Quando e são ortogonais, a norma da soma ao quadrado é igual à soma das normas ao quadrado: .

Exercícios relacionados