Dados o ponto A(2,-3,4) e o plano alpha : -5 x+2 y-z+3=0.
Determinar o ângulo formado entre o plano alpha e o eixo Oy.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um ponto A(2,-3,4) e um plano alpha definido pela equação -5x + 2y - z + 3 = 0. A pergunta é para determinar o ângulo que o plano alpha forma com o eixo Oy.
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre ângulos entre vetores e planos. Especificamente, vamos usar o conceito de vetores normais aos planos e a fórmula para calcular o ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor normal ao plano alpha. A equação geral de um plano é da forma Ax + By + Cz + D = 0, onde (A, B, C) é o vetor normal ao plano. No nosso caso, a equação é -5x + 2y - z + 3 = 0, então o vetor normal n é:
n = (-5,, 2,, -1)

Passo 3

Agora, precisamos considerar o eixo Oy. O eixo Oy é representado pelo vetor unitário:
u = (0,, 1,, 0)
Esse vetor aponta ao longo do eixo y positivo.

Passo 4

Para encontrar o ângulo entre o plano alpha e o eixo Oy, vamos primeiro encontrar o ângulo entre o vetor normal n e o vetor u. Depois, usaremos esse ângulo para encontrar o ângulo desejado entre o plano e o eixo.
A fórmula para calcular o ângulo theta entre dois vetores a e b é:
costheta = a cdot b|a|, |b|
Onde:
  • a cdot b é o produto escalar dos vetores.
  • |a| e |b| são as magnitudes dos vetores.

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar n cdot u:
n cdot u = (-5)(0) + (2)(1) + (-1)(0) = 0 + 2 + 0 = 2

Passo 6

Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores n e u:
|n| = raiz(-5)^2 + 2^2 + (-1)^2 = raiz25 + 4 + 1 = raiz30
|u| = raiz0^2 + 1^2 + 0^2 = raiz1 = 1

Passo 7

Agora, substituímos esses valores na fórmula do cosseno:
costheta = 2raiz30 times 1 = 2raiz30 approx 25,477 approx 0,3651
Então,
theta approx arccos(0,3651) approx 68,10^circ
Esse é o ângulo entre o vetor normal ao plano e o eixo Oy.

Passo 8

Como queremos o ângulo entre o plano alpha e o eixo Oy, precisamos lembrar que esse ângulo é o complemento do ângulo que acabamos de encontrar. Ou seja:
phi = 90^circ - theta approx 90^circ - 68,10^circ = 21,90^circ

Resposta

O ângulo formado entre o plano alpha e o eixo Oy é aproximadamente 21,90^circ.

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