Dados o ponto
e o plano
:
.
Determinar o ângulo formado entre o plano
e o eixo
.
Determinar o ângulo formado entre o plano
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um ponto
e um plano
definido pela equação
. A pergunta é para determinar o ângulo que o plano
forma com o eixo
.
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre ângulos entre vetores e planos. Especificamente, vamos usar o conceito de vetores normais aos planos e a fórmula para calcular o ângulo entre dois vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o vetor normal ao plano
. A equação geral de um plano é da forma
, onde
é o vetor normal ao plano. No nosso caso, a equação é
, então o vetor normal
é:
Passo 3
Agora, precisamos considerar o eixo
. O eixo
é representado pelo vetor unitário:
Esse vetor aponta ao longo do eixo y positivo.
Passo 4
Para encontrar o ângulo entre o plano
e o eixo
, vamos primeiro encontrar o ângulo entre o vetor normal
e o vetor
. Depois, usaremos esse ângulo para encontrar o ângulo desejado entre o plano e o eixo.
A fórmula para calcular o ângulo
entre dois vetores
e
é:
Onde:
-
é o produto escalar dos vetores. -
e são as magnitudes dos vetores.
Passo 5
Vamos calcular o produto escalar
:
Passo 6
Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores
e
:
Passo 7
Agora, substituímos esses valores na fórmula do cosseno:
Então,
Esse é o ângulo entre o vetor normal ao plano e o eixo
.
Passo 8
Como queremos o ângulo entre o plano
e o eixo
, precisamos lembrar que esse ângulo é o complemento do ângulo que acabamos de encontrar. Ou seja:
Resposta
O ângulo formado entre o plano
e o eixo
é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Dados o ponto
e o plano
:
.
Determinar as equações reduzidas da reta que passa por A e é paralela à reta intersecção entre o plano e o plano Oxy.
Determinar as equações reduzidas da reta que passa por A e é paralela à reta intersecção entre o plano
Considere a base
de
, onde
e
e seja
o operador linear tal que
Encontre uma formula para
e use esta fórmula para obter
.
Dados os vetores
e
, calcule: a área do paralelogramo determinado por
e
;
Classifique em verdadeira ou falsa cada afirmação a seguir, justificando sua resposta.
a) Se e
são ortogonais, então
.
a) Se