Dados o ponto e o plano : .
Determinar o ângulo formado entre o plano e o eixo .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um ponto e um plano definido pela equação . A pergunta é para determinar o ângulo que o plano forma com o eixo .
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre ângulos entre vetores e planos. Especificamente, vamos usar o conceito de vetores normais aos planos e a fórmula para calcular o ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor normal ao plano . A equação geral de um plano é da forma , onde é o vetor normal ao plano. No nosso caso, a equação é , então o vetor normal é:

Passo 3

Agora, precisamos considerar o eixo . O eixo é representado pelo vetor unitário:
Esse vetor aponta ao longo do eixo y positivo.

Passo 4

Para encontrar o ângulo entre o plano e o eixo , vamos primeiro encontrar o ângulo entre o vetor normal e o vetor . Depois, usaremos esse ângulo para encontrar o ângulo desejado entre o plano e o eixo.
A fórmula para calcular o ângulo entre dois vetores e é:
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores.
  • e são as magnitudes dos vetores.

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar :

Passo 6

Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores e :

Passo 7

Agora, substituímos esses valores na fórmula do cosseno:
Então,
Esse é o ângulo entre o vetor normal ao plano e o eixo .

Passo 8

Como queremos o ângulo entre o plano e o eixo , precisamos lembrar que esse ângulo é o complemento do ângulo que acabamos de encontrar. Ou seja:

Resposta

O ângulo formado entre o plano e o eixo é aproximadamente .

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