Dados os vetores u=(1,-1,1) e v=(2,-3,4), calcule: a altura do paralelogramo relativa à base determinada por u.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores, u = (1, -1, 1) e v = (2, -3, 4). A pergunta é: qual é a altura do paralelogramo formado por esses vetores, tomando u como base. Para isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial, como produto vetorial e norma de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a área do paralelogramo formado pelos vetores u e v é dada pelo módulo do produto vetorial desses vetores, ou seja, |u times v|. Então, precisamos calcular o produto vetorial u times v.

Passo 3

Para calcular o produto vetorial u times v, usamos a regra do determinante:
u times v = i & j & k 1 & -1 & 1 2 & -3 & 4
Calculando o determinante:
u times v = i((-1)(4) - (1)(-3)) - j((1)(4) - (1)(2)) + k((1)(-3) - (-1)(2))
Simplificando:
u times v = i(-4 + 3) - j(4 - 2) + k(-3 + 2)
u times v = i(-1) - j(2) + k(-1)
u times v = (-1, -2, -1)

Passo 4

Agora, vamos calcular o módulo desse vetor resultante para achar a área do paralelogramo:
|u times v| = raiz(-1)^2 + (-2)^2 + (-1)^2 = raiz1 + 4 + 1 = raiz6

Passo 5

Em seguida, precisamos encontrar a norma do vetor base u:
|u| = raiz1^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3

Passo 6

A altura do paralelogramo relativa à base u é dada pela área dividida pela norma da base:
h = |u times v||u| = raiz6raiz3 = raiz2

Resposta

A altura do paralelogramo relativa à base determinada por u é raiz2.

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