Sejam e uma lista de vetores , com . Quais dos vetores em são combinações lineares dos vetores e ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o espaço vetorial , que é o conjunto de todos os polinômios de grau máximo 3 com coeficientes no campo . Temos uma lista de vetores , onde cada para . A pergunta é: quais vetores em podem ser escritos como combinações lineares desses ?
Vamos precisar entender sobre combinações lineares e bases de espaços vetoriais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Uma combinação linear dos vetores é qualquer polinômio que possa ser escrito na forma:
onde são escalares no campo .
Passo 3
Agora, para determinar quais vetores em são combinações lineares desses , precisamos verificar se os formam uma base de . Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço.
Como tem dimensão 4 (já que um polinômio de grau 3 é determinado por 4 coeficientes), precisamos de 4 vetores que sejam linearmente independentes para formar uma base.
Passo 4
Para saber se os são linearmente independentes, montamos uma matriz com os coeficientes desses polinômios e calculamos o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes.
Vamos escrever cada :
Agora, organizamos os coeficientes em uma matriz:
Calculando o determinante dessa matriz:
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e formam uma base de .
Resposta
Todos os vetores em podem ser expressos como combinações lineares dos vetores e . Ou seja, qualquer polinômio de grau máximo 3 em é uma combinação linear desses .