Sejam V=P3(F) e alpha=(p0(x), p1(x), p2(x), p3(x)) uma lista de vetores pi(x)=(1-x)^i in V, com i=0,1,2,3. Quais dos vetores em V são combinações lineares dos vetores p0(x), p1(x), p2(x) e p3(x) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o espaço vetorial , que é o conjunto de todos os polinômios de grau máximo 3 com coeficientes no campo . Temos uma lista de vetores , onde cada para . A pergunta é: quais vetores em podem ser escritos como combinações lineares desses ?
Vamos precisar entender sobre combinações lineares e bases de espaços vetoriais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Uma combinação linear dos vetores c0 p0(x) + c1 p1(x) + c2 p2(x) + c3 p3(x) é qualquer polinômio que possa ser escrito na forma:
onde são escalares no campo .

Passo 3

Agora, para determinar quais vetores em são combinações lineares desses , precisamos verificar se os formam uma base de . Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço.
Como tem dimensão 4 (já que um polinômio de grau 3 é determinado por 4 coeficientes), precisamos de 4 vetores que sejam linearmente independentes para formar uma base.

Passo 4

Para saber se os p0(x) &= 1 p1(x) &= 1 - x p2(x) &= (1 - x)^2 = 1 - 2x + x^2 p3(x) &= (1 - x)^3 = 1 - 3x + 3x^2 - x^3 são linearmente independentes, montamos uma matriz com os coeficientes desses polinômios e calculamos o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes.
Vamos escrever cada 1 & 1 & 1 & 1 0 & -1 & -2 & -3 0 & 0 & 1 & 3 0 & 0 & 0 & -1 :
det = 1 times (-1) times 1 times (-1) = 1
Agora, organizamos os coeficientes em uma matriz:
Calculando o determinante dessa matriz:
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e formam uma base de .

Resposta

Todos os vetores em podem ser expressos como combinações lineares dos vetores e . Ou seja, qualquer polinômio de grau máximo 3 em é uma combinação linear desses .

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