Dados os vetores u=(1,-1,1) e v=(2,-3,4), calcule: a área do paralelogramo determinado por u e v;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área do paralelogramo formado pelos vetores u = (1, -1, 1) e v = (2, -3, 4). Para isso, vamos usar o conceito do produto vetorial, que nos permite encontrar a área de um paralelogramo definido por dois vetores no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a área A do paralelogramo formado pelos vetores u e v é dada pela magnitude do produto vetorial desses vetores. A fórmula é:
A = |u times v|

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial u times v. Para vetores em três dimensões, o produto vetorial é dado por:
u times v = i & j & k u1 & u2 & u3 v1 & v2 & v3
Substituindo os valores dos vetores u = (1, -1, 1) e v = (2, -3, 4), temos:
u times v = i & j & k 1 & -1 & 1 2 & -3 & 4

Passo 4

Vamos calcular o determinante dessa matriz:
u times v = i cdot -1 & 1 -3 & 4 - j cdot 1 & 1 2 & 4 + k cdot 1 & -1 2 & -3
Calculando cada um dos menores:
  • Para i:
(-1)(4) - (1)(-3) = -4 + 3 = -1
  • Para j:
(1)(4) - (1)(2) = 4 - 2 = 2
  • Para k:
(1)(-3) - (-1)(2) = -3 + 2 = -1
Então:
u times v = -1i - 2j -1k = (-1, -2, -1)

Passo 5

Agora, vamos calcular a magnitude desse vetor resultante para encontrar a área:
|u times v| = raiz(-1)^2 + (-2)^2 + (-1)^2 = raiz1 + 4 + 1 = raiz6

Resposta

A área do paralelogramo determinado pelos vetores u e v é raiz6 unidades de área.

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