Dados os vetores e , calcule: a área do paralelogramo determinado por e ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área do paralelogramo formado pelos vetores e . Para isso, vamos usar o conceito do produto vetorial, que nos permite encontrar a área de um paralelogramo definido por dois vetores no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a área do paralelogramo formado pelos vetores e é dada pela magnitude do produto vetorial desses vetores. A fórmula é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto vetorial . Para vetores em três dimensões, o produto vetorial é dado por:
Substituindo os valores dos vetores u = (1, -1, 1) e v = (2, -3, 4), temos:
u times v = i & j & k 1 & -1 & 1 2 & -3 & 4
Passo 4
Vamos calcular o determinante dessa matriz:
u times v = i cdot -1 & 1 -3 & 4 - j cdot 1 & 1 2 & 4 + k cdot 1 & -1 2 & -3
Calculando cada um dos menores:
Para i:
(-1)(4) - (1)(-3) = -4 + 3 = -1
Para j:
(1)(4) - (1)(2) = 4 - 2 = 2
Para k:
(1)(-3) - (-1)(2) = -3 + 2 = -1
Então:
u times v = -1i - 2j -1k = (-1, -2, -1)
Passo 5
Agora, vamos calcular a magnitude desse vetor resultante para encontrar a área: