Classifique em verdadeira ou falsa cada afirmação a seguir, justificando sua resposta.
a) Se
e
são ortogonais, então
.
b) Três vetores ortogonais entre si (ou seja, dois a dois ortogonais) formam uma base.
a) Se
b) Três vetores ortogonais entre si (ou seja, dois a dois ortogonais) formam uma base.
Passo 1
Vamos dar uma olhada nas afirmações que envolvem vetores e suas propriedades. O conteúdo aqui é de álgebra linear, focando em vetores ortogonais e normas. Para resolver, vamos precisar entender o que significa vetores serem ortogonais e como calcular a norma de vetores.
Passo 2
Afirmação a): Se
e
são ortogonais, então
.
Vetores ortogonais têm produto interno igual a zero, ou seja,
. A norma de um vetor
é calculada como
.
Vamos calcular
:
Como
, simplifica para:
Então, a afirmação é verdadeira.
Passo 3
Afirmação b): Três vetores ortogonais entre si (ou seja, dois a dois ortogonais) formam uma base.
Uma base em um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Se temos três vetores ortogonais entre si, eles são automaticamente linearmente independentes, pois nenhum deles pode ser escrito como combinação dos outros.
Além disso, em
, três vetores linearmente independentes formam uma base. Portanto, a afirmação é verdadeira.
Resposta
a) Verdadeira.
b) Verdadeira.