Classifique em verdadeira ou falsa cada afirmação a seguir, justificando sua resposta.
a) Se a e b são ortogonais, então |a+b|^2=|a|^2+|b|^2.
b) Três vetores ortogonais entre si (ou seja, dois a dois ortogonais) formam uma base.

Passo 1

Vamos dar uma olhada nas afirmações que envolvem vetores e suas propriedades. O conteúdo aqui é de álgebra linear, focando em vetores ortogonais e normas. Para resolver, vamos precisar entender o que significa vetores serem ortogonais e como calcular a norma de vetores.

Passo 2

Afirmação a): Se |a + b|^2 = (a + b) cdot (a + b) = a cdot a + 2a cdot b + b cdot b e |a|^2 + |b|^2 são ortogonais, então .
Vetores ortogonais têm produto interno igual a zero, ou seja, . A norma de um vetor é calculada como .
Vamos calcular :
Como , simplifica para:
Então, a afirmação é verdadeira.

Passo 3

Afirmação b): Três vetores ortogonais entre si (ou seja, dois a dois ortogonais) formam uma base.
Uma base em um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Se temos três vetores ortogonais entre si, eles são automaticamente linearmente independentes, pois nenhum deles pode ser escrito como combinação dos outros.
Além disso, em , três vetores linearmente independentes formam uma base. Portanto, a afirmação é verdadeira.

Resposta

a) Verdadeira.
b) Verdadeira.

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