Verificar quais das aplicações de em são operadores lineares.
a)

Passo 1

Vamos ver o que o exercício pede: Precisamos verificar se a aplicação definida por é um operador linear. Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com propriedades de operadores lineares. Para resolver isso, vamos lembrar o que define um operador linear e verificar se satisfaz essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um operador linear. Uma aplicação é linear se, para quaisquer vetores e para todo escalar , as seguintes propriedades forem verdadeiras:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:
Vamos verificar se a aplicação satisfaz essas propriedades.

Passo 3

Verificando a Aditividade:
Sejam dois vetores quaisquer e em .
Calculemos :
Agora, calculemos :
Como , a propriedade de aditividade é satisfeita.

Passo 4

Verificando a Homogeneidade:
Seja um escalar e um vetor .
Calculemos :
Portanto, , o que mostra que a propriedade de homogeneidade é satisfeita.

Resposta

A aplicação é um operador linear.

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Verificar quais das aplicações de em são operadores lineares :
d)
Verificar quais das aplicações de em são operadores lineares :
b)
Verificar quais das aplicações de em são operadores lineares.
b)
Classifique em verdadeira ou falsa cada afirmação a seguir, justificando sua resposta.
a) Se e são ortogonais, então .
b) Três vetores ortogonais entre si (ou seja, dois a dois ortogonais) formam uma base.