Verificar quais das aplicações de R^2 em R^2 são operadores lineares.
a) F(x, y)=(2 x+3 y, 4 x-5 y)

Passo 1

Vamos ver o que o exercício pede: Precisamos verificar se a aplicação definida por é um operador linear. Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com propriedades de operadores lineares. Para resolver isso, vamos lembrar o que define um operador linear e verificar se satisfaz essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um operador linear. Uma aplicação é linear se, para quaisquer vetores e para todo escalar , as seguintes propriedades forem verdadeiras:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:
Vamos verificar se a aplicação satisfaz essas propriedades.

Passo 3

Verificando a Aditividade:
Sejam dois vetores quaisquer F( (x1 + x2, y1 + y2) ) = ( 2(x1 + x2) + 3(y1 + y2), 4(x1 + x2) - 5(y1 + y2) ) e = (2x1 + 2x2 + 3y1 + 3y2, 4x1 + 4x2 - 5y1 - 5y2) em F(u) = (2x1 + 3y1, 4x1 - 5y1) .
Calculemos F(v) = (2x2 + 3y2, 4x2 - 5y2) :
F(u) + F(v) = (2x1 + 3y1 + 2x2 + 3y2, 4x1 - 5y1 + 4x2 - 5y2)
= (2x1 + 2x2 + 3y1 + 3y2, 4x1 + 4x2 - 5y1 - 5y2)
Agora, calculemos :
Como , a propriedade de aditividade é satisfeita.

Passo 4

Verificando a Homogeneidade:
Seja um escalar F(cx, cy) = (2(cx) + 3(cy), 4(cx) - 5(cy)) e um vetor = (c(2x + 3y), c(4x - 5y)) .
Calculemos = c(2x + 3y, 4x - 5y) = cF(u) :
Portanto, , o que mostra que a propriedade de homogeneidade é satisfeita.

Resposta

A aplicação é um operador linear.

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