Verificar quais das aplicações de
em
são operadores lineares.
a)
a)
Passo 1
Vamos ver o que o exercício pede: Precisamos verificar se a aplicação
definida por
é um operador linear. Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com propriedades de operadores lineares. Para resolver isso, vamos lembrar o que define um operador linear e verificar se
satisfaz essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um operador linear. Uma aplicação
é linear se, para quaisquer vetores
e para todo escalar
, as seguintes propriedades forem verdadeiras:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Vamos verificar se a aplicação
satisfaz essas propriedades.
Passo 3
Verificando a Aditividade:
Sejam dois vetores quaisquer
e
em
.
Calculemos
:
Agora, calculemos
:
Como
, a propriedade de aditividade é satisfeita.
Passo 4
Verificando a Homogeneidade:
Seja um escalar
e um vetor
.
Calculemos
:
Portanto,
, o que mostra que a propriedade de homogeneidade é satisfeita.
Resposta
A aplicação
é um operador linear.
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em
são operadores lineares :
d)
d)
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em
são operadores lineares :
b)
b)
Verificar quais das aplicações de
em
são operadores lineares.
b)
b)
Classifique em verdadeira ou falsa cada afirmação a seguir, justificando sua resposta.
a) Se e
são ortogonais, então
.
b) Três vetores ortogonais entre si (ou seja, dois a dois ortogonais) formam uma base.
a) Se
b) Três vetores ortogonais entre si (ou seja, dois a dois ortogonais) formam uma base.