Verificar quais das aplicações de
em
são operadores lineares.
b)
b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma aplicação
definida por
. O conteúdo que estamos lidando aqui é o de operadores lineares. Para verificar se
é um operador linear, vamos precisar lembrar das propriedades que definem uma aplicação linear.
Passo 2
Um operador linear deve satisfazer duas propriedades principais:
- Adição:
para quaisquer vetores em . - Homogeneidade:
para qualquer vetor em e qualquer escalar .
Vamos verificar se essas propriedades são verdadeiras para a nossa aplicação
.
Passo 3
Verificando a adição:
Sejam
e
.
Calculamos
:
Agora, calculamos
:
Podemos ver que
.
Verificando a homogeneidade:
Seja
um escalar e
.
Calculamos
:
Agora, calculamos
:
Novamente, vemos que
.
Resposta
Como a aplicação
satisfaz as propriedades de adição e homogeneidade, podemos concluir que
é um operador linear.