Verificar quais das aplicações de em são operadores lineares.
b)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma aplicação definida por . O conteúdo que estamos lidando aqui é o de operadores lineares. Para verificar se é um operador linear, vamos precisar lembrar das propriedades que definem uma aplicação linear.

Passo 2

Um operador linear deve satisfazer duas propriedades principais:
  1. Adição: para quaisquer vetores em .
  2. Homogeneidade: para qualquer vetor em e qualquer escalar .
Vamos verificar se essas propriedades são verdadeiras para a nossa aplicação .

Passo 3

Verificando a adição:
Sejam e .
Calculamos :
Agora, calculamos :
Podemos ver que .
Verificando a homogeneidade:
Seja um escalar e .
Calculamos :
Agora, calculamos :
Novamente, vemos que .

Resposta

Como a aplicação satisfaz as propriedades de adição e homogeneidade, podemos concluir que é um operador linear.

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a)
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d)
Classifique em verdadeira ou falsa cada afirmação a seguir, justificando sua resposta.
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f)