Verificar quais das aplicações de R^2 em R^2 são operadores lineares.
b) F(x, y)=(2 x, x-y)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma aplicação definida por . O conteúdo que estamos lidando aqui é o de operadores lineares. Para verificar se é um operador linear, vamos precisar lembrar das propriedades que definem uma aplicação linear.

Passo 2

Um operador linear deve satisfazer duas propriedades principais:
  1. Adição: para quaisquer vetores em .
  2. Homogeneidade: para qualquer vetor em e qualquer escalar .
Vamos verificar se essas propriedades são verdadeiras para a nossa aplicação .

Passo 3

Verificando a adição:
Sejam F(x1 + x2, y1 + y2) = (2(x1 + x2), (x1 + x2) - (y1 + y2)) = (2x1 + 2x2, x1 + x2 - y1 - y2) e F(x1, y1) + F(x2, y2) = (2x1, x1 - y1) + (2x2, x2 - y2) = (2x1 + 2x2, x1 - y1 + x2 - y2) .
Calculamos F(kx, ky) = (2(kx), kx - ky) = (2kx, kx - ky) :
kF(x, y) = k(2x, x - y) = (2kx, kx - ky)
Agora, calculamos :
Podemos ver que .
Verificando a homogeneidade:
Seja um escalar e .
Calculamos :
Agora, calculamos :
Novamente, vemos que .

Resposta

Como a aplicação satisfaz as propriedades de adição e homogeneidade, podemos concluir que é um operador linear.

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