Verificar quais das aplicações de
em
são operadores lineares.
b)
b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma aplicação
definida por
. O conteúdo que estamos lidando aqui é o de operadores lineares. Para verificar se
é um operador linear, vamos precisar lembrar das propriedades que definem uma aplicação linear.
Passo 2
Um operador linear deve satisfazer duas propriedades principais:
- Adição:
para quaisquer vetores em . - Homogeneidade:
para qualquer vetor em e qualquer escalar .
Vamos verificar se essas propriedades são verdadeiras para a nossa aplicação
.
Passo 3
Verificando a adição:
Sejam
e
.
Calculamos
:
Agora, calculamos
:
Podemos ver que
.
Verificando a homogeneidade:
Seja
um escalar e
.
Calculamos
:
Agora, calculamos
:
Novamente, vemos que
.
Resposta
Como a aplicação
satisfaz as propriedades de adição e homogeneidade, podemos concluir que
é um operador linear.
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Verificar quais das aplicações de
em
são operadores lineares.
a)
a)
Verificar quais das aplicações de
em
são operadores lineares :
d)
d)
Classifique em verdadeira ou falsa cada afirmação a seguir, justificando sua resposta.
a) Se e
são ortogonais, então
.
b) Três vetores ortogonais entre si (ou seja, dois a dois ortogonais) formam uma base.
a) Se
b) Três vetores ortogonais entre si (ou seja, dois a dois ortogonais) formam uma base.
Verificar quais das aplicações de
em
são operadores lineares.
f)
f)