Verificar quais das aplicações de em são operadores lineares.
f)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a aplicação é um operador linear, ou seja, se ela é uma transformação linear de para . Para isso, vamos precisar entender o que define uma transformação linear e verificar se atende a essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um operador linear. Uma transformação é linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
  1. Adição: para quaisquer vetores e em .
  2. Homogeneidade escalar: para qualquer escalar e vetor em .
Vamos verificar essas duas propriedades para a função .

Passo 3

Primeiro, vamos checar se preserva a adição. Seja e . A soma deles é .
Calculando :
Expandindo os quadrados:
Agora, calculando :
Comparando os dois resultados:
Perceba que tem termos extras e que não aparecem em . Portanto, .

Passo 4

Agora, vamos verificar a homogeneidade escalar. Seja um escalar e .
Calculando :
Por outro lado, calculando :
Comparando os dois resultados:
Esses dois são iguais apenas se , o que só acontece para ou . Para outros valores de , eles não são iguais.

Resposta

Como a aplicação não satisfaz as propriedades de adição e homogeneidade escalar necessárias para ser um operador linear, concluímos que não é um operador linear.

Exercícios relacionados

Classifique em verdadeira ou falsa cada afirmação a seguir, justificando sua resposta.
a) Se e são ortogonais, então .
b) Três vetores ortogonais entre si (ou seja, dois a dois ortogonais) formam uma base.
Verificar quais das aplicações de em são operadores lineares.
b)
Encontre , tal que .
Encontre , tal que e .