Verificar quais das aplicações de R^2 em R^2 são operadores lineares.
f) F(x, y)=(x^2+y^2, 0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a aplicação é um operador linear, ou seja, se ela é uma transformação linear de para . Para isso, vamos precisar entender o que define uma transformação linear e verificar se atende a essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um operador linear. Uma transformação é linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
  1. Adição: para quaisquer vetores e em .
  2. Homogeneidade escalar: para qualquer escalar e vetor em .
Vamos verificar essas duas propriedades para a função .

Passo 3

Primeiro, vamos checar se F(u + v) = F(x1 + x2, y1 + y2) = ((x1 + x2)^2 + (y1 + y2)^2, 0) preserva a adição. Seja = (x1^2 + 2x1x2 + x2^2 + y1^2 + 2y1y2 + y2^2, 0) e F(u) = (x1^2 + y1^2, 0) F(v) = (x2^2 + y2^2, 0) F(u) + F(v) = (x1^2 + y1^2 + x2^2 + y2^2, 0) . A soma deles é F(u + v) = (x1^2 + 2x1x2 + x2^2 + y1^2 + 2y1y2 + y2^2, 0) F(u) + F(v) = (x1^2 + y1^2 + x2^2 + y2^2, 0) .
Calculando :
Expandindo os quadrados:
Agora, calculando :
Comparando os dois resultados:
Perceba que tem termos extras e que não aparecem em . Portanto, .

Passo 4

Agora, vamos verificar a homogeneidade escalar. Seja F(cu) = F(cx, cy) = ((cx)^2 + (cy)^2, 0) = (c^2x^2 + c^2y^2, 0) = c^2(x^2 + y^2, 0) um escalar e cF(u) = c(x^2 + y^2, 0) = (c(x^2 + y^2), 0) .
Calculando F(cu) = c^2(x^2 + y^2, 0) cF(u) = c(x^2 + y^2, 0) :
Por outro lado, calculando :
Comparando os dois resultados:
Esses dois são iguais apenas se , o que só acontece para ou . Para outros valores de , eles não são iguais.

Resposta

Como a aplicação não satisfaz as propriedades de adição e homogeneidade escalar necessárias para ser um operador linear, concluímos que não é um operador linear.

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