Verificar quais das aplicações de
em
são operadores lineares.
f)
f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a aplicação
é um operador linear, ou seja, se ela é uma transformação linear de
para
. Para isso, vamos precisar entender o que define uma transformação linear e verificar se
atende a essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um operador linear. Uma transformação
é linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
- Adição:
para quaisquer vetores e em . - Homogeneidade escalar:
para qualquer escalar e vetor em .
Vamos verificar essas duas propriedades para a função
.
Passo 3
Primeiro, vamos checar se
preserva a adição. Seja
e
. A soma deles é
.
Calculando
:
Expandindo os quadrados:
Agora, calculando
:
Comparando os dois resultados:
Perceba que
tem termos extras
e
que não aparecem em
. Portanto,
.
Passo 4
Agora, vamos verificar a homogeneidade escalar. Seja
um escalar e
.
Calculando
:
Por outro lado, calculando
:
Comparando os dois resultados:
Esses dois são iguais apenas se
, o que só acontece para
ou
. Para outros valores de
, eles não são iguais.
Resposta
Como a aplicação
não satisfaz as propriedades de adição e homogeneidade escalar necessárias para ser um operador linear, concluímos que
não é um operador linear.
Exercícios relacionados
Classifique em verdadeira ou falsa cada afirmação a seguir, justificando sua resposta.
a) Se e
são ortogonais, então
.
b) Três vetores ortogonais entre si (ou seja, dois a dois ortogonais) formam uma base.
a) Se
b) Três vetores ortogonais entre si (ou seja, dois a dois ortogonais) formam uma base.
Verificar quais das aplicações de
em
são operadores lineares.
b)
b)
Encontre
, tal que
.
Encontre
, tal que
e
.