Encontre T: R^3 R^3, tal que Im(T)=[(1,0,-1),(1,2,2)].

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar uma transformação linear cuja imagem, ou seja, o conjunto de todos os vetores resultantes , seja exatamente o subespaço gerado pelos vetores e . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transformação linear, imagens de transformações e como representar essas transformações através de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz de tamanho tal que . A imagem de é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas da matriz .

Passo 3

Queremos que a imagem de seja o subespaço gerado pelos vetores e . Isso significa que as colunas da matriz devem ser combinações lineares desses dois vetores.

Passo 4

Podemos escolher as duas primeiras colunas de como e . Para a terceira coluna, podemos escolher qualquer combinação linear de e . Vamos escolher, por simplicidade, a terceira coluna como zero, já que isso não adiciona novos vetores à imagem.

Passo 5

Então, a matriz A = 1 & 1 & 0 0 & 2 & 0 -1 & 2 & 0 que representa a transformação T(x) = Ax = x110-1 + x2122 + x3000 fica assim:
Isso significa que para qualquer vetor em , a transformação é dada por:

Resposta

A transformação linear T = 1 & 1 & 0 0 & 2 & 0 -1 & 2 & 0 que satisfaz pode ser representada pela matriz:

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