Encontre , tal que .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar uma transformação linear cuja imagem, ou seja, o conjunto de todos os vetores resultantes , seja exatamente o subespaço gerado pelos vetores e . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transformação linear, imagens de transformações e como representar essas transformações através de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz de tamanho tal que . A imagem de é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas da matriz .

Passo 3

Queremos que a imagem de seja o subespaço gerado pelos vetores e . Isso significa que as colunas da matriz devem ser combinações lineares desses dois vetores.

Passo 4

Podemos escolher as duas primeiras colunas de como e . Para a terceira coluna, podemos escolher qualquer combinação linear de e . Vamos escolher, por simplicidade, a terceira coluna como zero, já que isso não adiciona novos vetores à imagem.

Passo 5

Então, a matriz que representa a transformação fica assim:
Isso significa que para qualquer vetor em , a transformação é dada por:

Resposta

A transformação linear que satisfaz pode ser representada pela matriz:

Exercícios relacionados

Verificar quais das aplicações de em são operadores lineares.
f)
Classifique em verdadeira ou falsa cada afirmação a seguir, justificando sua resposta.
a) Se e são ortogonais, então .
b) Três vetores ortogonais entre si (ou seja, dois a dois ortogonais) formam uma base.
Encontre , tal que e .
Dados os complexos e calcule:
D)