Classifique em verdadeira ou falsa cada afirmação a seguir, justificando sua resposta.
a) Três vetores ortogonais formam uma base ortonormal.
a) Três vetores ortogonais formam uma base ortonormal.
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: “Três vetores ortogonais formam uma base ortonormal.” Aqui, estamos lidando com conceitos de álgebra linear, especificamente sobre vetores ortogonais e base ortonormal. Para resolver isso, vamos entender o que significa cada termo e verificar se a afirmação é verdadeira ou falsa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um vetor ortogonal. Vetores são ortogonais quando são perpendiculares entre si, ou seja, o produto interno (ou escalar) entre eles é zero. Matematicamente, para dois vetores
e
, eles são ortogonais se:
Passo 3
Agora, uma base ortonormal é um conjunto de vetores que são, além de ortogonais, todos de norma igual a 1. Isso significa que cada vetor tem comprimento 1, e qualquer par de vetores distintos é ortogonal. Para que três vetores formem uma base ortonormal, eles devem satisfazer:
Passo 4
A afirmação diz que “Três vetores ortogonais formam uma base ortonormal”. Isso seria verdadeiro se, al��m de serem ortogonais, esses vetores também tivessem norma igual a 1. Porém, a ortogonalidade por si só não garante que os vetores tenham norma unitária.
Passo 5
Portanto, três vetores ortogonais não necessariamente formam uma base ortonormal. Para que isso aconteça, além de serem ortogonais, cada vetor deve ser normalizado (ter norma igual a 1). Sem essa normalização, temos apenas uma base ortogonal, não necessariamente ortonormal.
Resposta
Falsa. Três vetores ortogonais não formam necessariamente uma base ortonormal, pois para serem ortonormais, além de serem ortogonais, cada vetor deve ter norma igual a 1.