Sendo a base canônica , onde , sabendo que e :
ache as matrizes de mudança de bases: e ;
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas bases no espaço vetorial tridimensional: a base canônica onde:
e a base definida por:
Queremos encontrar as matrizes de mudança de base:
Para resolver isso, precisamos entender como as coordenadas dos vetores mudam de uma base para outra e como representar isso em forma de matriz.
Passo 2
Vamos começar encontrando a matriz de mudança de base . Essa matriz transforma coordenadas da base para a base . Mas, como e são a mesma base, a matriz de mudança de base será a matriz identidade.
A matriz identidade é uma matriz quadrada onde todos os elementos da diagonal principal são 1 e os demais são 0:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a matriz de mudança de base f1 = e1 - e2, f2 = e3, f3 = e2 + e3 . Essa matriz transforma coordenadas da base f1 = 1e1 + (-1)e2 + 0e3 Rightarrow (1, -1, 0) para a base f2 = 0e1 + 0e2 + 1e3 Rightarrow (0, 0, 1) . Para isso, precisamos expressar cada vetor da base f3 = 0e1 + 1e2 + 1e3 Rightarrow (0, 1, 1) em termos da base [I]E^F = 1 & 0 & 0 -1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 .
Dado que:
Podemos escrever as coordenadas dos vetores na base :
Agora, organizamos essas coordenadas como colunas na matriz :
Passo 4
Finalmente, queremos encontrar a matriz de mudança de base [I]C^F = [I]E^F cdot [I]C^E , que transforma coordenadas da base [I]C^F = [I]E^F = 1 & 0 & 0 -1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 diretamente para a base . Para isso, podemos compor as duas matrizes que já encontramos:
Como é a matriz identidade, a multiplicação simplifica para: