Decomponha o vetor v=(-1,2,-3) como a soma de dois vetores a e b, de modo que a / / w e b perp w, onde w=(2,1,-1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente decompor o vetor v=(-1,2,-3) em dois vetores a e b, de tal forma que a seja paralelo a w=(2,1,-1) e b seja perpendicular a w. Para resolver isso, vamos usar conceitos de produto escalar e projeção de vetores.

Passo 2

Primeiro, como a é paralela a w, a gente pode escrever a como uma escala do vetor w. Ou seja:
a = k cdot w
Aqui, k é um número que precisamos descobrir.

Passo 3

Sabemos que v = a + b. Então, podemos expressar b em função de v e a:
b = v - a = v - k cdot w

Passo 4

Como b é perpendicular a w, o produto escalar entre eles deve ser zero:
b cdot w = 0
Substituindo b:
(v - k cdot w) cdot w = 0

Passo 5

Vamos expandir o produto escalar:
v cdot w - k cdot (w cdot w) = 0
Agora, vamos calcular v cdot w e w cdot w:
v cdot w = (-1)(2) + (2)(1) + (-3)(-1) = -2 + 2 + 3 = 3
w cdot w = (2)^2 + (1)^2 + (-1)^2 = 4 + 1 + 1 = 6

Passo 6

Substituindo esses valores na equação:
3 - k cdot 6 = 0
Resolvendo para k:
6k = 3 k = 36 = 12

Passo 7

Agora que temos k = 12, podemos encontrar a:
a = 12 cdot w = 12 cdot (2,1,-1) = (1, 12, -12)

Passo 8

Com a em mãos, vamos calcular b:
b = v - a = (-1,2,-3) - (1, 12, -12) = (-2, 32, -52)

Resposta

A decomposição do vetor v=(-1,2,-3) é:
a = (1, 12, -12) b = (-2, 32, -52)

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