Use a regra da cadeia para encontrar d y / d x. y = 1/u^2 ; u = 2x + 3

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função , onde . Precisamos encontrar a derivada de y em relação a x, ou seja, . Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que é uma técnica do cálculo para derivar funções compostas.

Passo 2

Vamos identificar as funções envolvidas. Temos y em termos de u e u em termos de x. Então, nossa função é uma função composta: .

Passo 3

A regra da cadeia nos diz que para encontrar , precisamos multiplicar a derivada de y em relação a u pela derivada de u em relação a x. Ou seja:

Passo 4

Vamos calcular . Temos:
Usando a regra do poder para derivadas, a derivada de em relação a u é:

Passo 5

Agora, vamos calcular . Como , a derivada de u em relação a x é:

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia, multiplicamos as duas derivadas que encontramos:

Passo 7

Por fim, substituímos u pela expressão em termos de x, que é :

Resposta

A derivada de y em relação a x é .

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