(2,4) Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta.
f) Se F(x, y, z)=7 y^4 z^3 i-8 x^3 z^6 j-3 x y^5 k então
rot F=(-15 x y^4+48 x^3 z^5) i+(3 y^5+21 y^4 z^2) j-(24 x^2 z^6+28 y^3 z^3) k

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a expressão dada para o rotor (ou rotacional) do campo vetorial está correta. Isso envolve usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo do rotacional de um campo vetorial. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como calcular o rotacional e comparar com a expressão fornecida.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por rot F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z ) i + ( partial Ppartial z - partial Rpartial x ) j + ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) k ou , mede a tendência de rotação de um campo vetorial em torno de um ponto. Para calcular o rotacional de , usamos a seguinte fórmula:

Passo 3

Agora, vamos identificar as componentes P = 7 y^4 z^3, Q = -8 x^3 z^6, R = -3 x y^5 , e do campo vetorial :

Passo 4

Vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias para o rotacional:
  1. partial (-3 x y^5)partial y = -3x cdot 5y^4 = -15 x y^4 :
partial (-8 x^3 z^6)partial z = -8 x^3 cdot 6 z^5 = -48 x^3 z^5
  1. partial (7 y^4 z^3)partial z = 7 y^4 cdot 3 z^2 = 21 y^4 z^2 :
partial (-3 x y^5)partial x = -3 y^5
  1. partial (-8 x^3 z^6)partial x = -8 cdot 3 x^2 z^6 = -24 x^2 z^6 :
partial (7 y^4 z^3)partial y = 7 cdot 4 y^3 z^3 = 28 y^3 z^3
  1. :
  1. :
  1. :

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do rotacional:
rot F = ( -15 x y^4 - (-48 x^3 z^5) ) i + ( 21 y^4 z^2 - (-3 y^5) ) j + ( -24 x^2 z^6 - 28 y^3 z^3 ) k
Simplificando:
rot F = ( -15 x y^4 + 48 x^3 z^5 ) i + ( 3 y^5 + 21 y^4 z^2 ) j - ( 24 x^2 z^6 + 28 y^3 z^3 ) k

Resposta

Verdadeiro (V). A expressão fornecida para está correta após calcular o rotacional passo a passo e comparar os resultados.

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